30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Tính tổng (S ) gồm tất cả các giá trị m để hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x, x < 1 \\ 2, x = 1 \\ m^{2} x + 1, x > 1 \end{cases}$ liên tục tại

$x = 1$ .

A. $S = - 1$

B. $S = 0$

C. $S = 1$

D. $S = 2$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x \in R$ .

Điều kiện bài toán trở thành

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) . (*)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (1) = 2 \\ \lim_{x \to 1^{+}} f (x) \\ = \lim_{x \to 1^{+}} (m^{2} x + 1) \\ = m^{2} + 1 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + x) = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow (*) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow m = \pm 1 \Rightarrow S = 0$

Câu 2:

Số điểm gián đoạn của hàm số

$h (x) = \{\begin{cases} 2 x, x < 0 \\ x^{2} + 1, 0 \leq x \leq 2 \\ 3 x - 1, x > 2 \end{cases}$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y = h (x)$ có TXĐ: $D = R$

Dễ thấy hàm số $y = h (x)$ liên tục trên mỗi khoảng (−∞;0),(0;2) và (2;+∞).

Ta có:

$\{\begin{cases} h (0) = 0^{2} + 1 = 1 \\ \lim_{x \to 0^{-}} h (x) = \lim_{x \to 0^{-}} 2 x = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow f (x)$ không liên tục tại $x = 0$

Ta có:

$\{\begin{cases} h (2) = 5 \\ \lim_{x \to 2^{-}} h (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} + 1) = 5 \\ \lim_{x \to 2^{+}} h (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (3 x - 1) = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow f (x)$ liên tục tại $x = 2$

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}, x \neq 3 \\ m, x = 3 \end{cases}$ . Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi bằng :

A. −4

B. 4

C. −1

D. 1

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x) (\sqrt{x + 1} + 2)}{x + 1 - 4} \\ = \lim_{x \to 3} (- \sqrt{x + 1} - 2) \\ = - \sqrt{3 + 1} - 2 = - 4 \end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì

$\lim_{x \to 3} f (x) = f (3) \Leftrightarrow m = - 4$

Câu 4:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sin 5 x}{5 x}, x \neq 0 \\ a + 2, x = 0 \end{cases}$ . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

A. 1

B. −1

C. −2

D. 2

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} = 1; f (0) = a + 2$

Vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1$

Câu 5:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}, x \neq 1 \\ 3 x + m, x = 1 \end{cases}$ liên tục tại

$x = 1$

A. $m = 0$

B. $m = 2$

C. $m = 4$

D. $m = 6$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x \in R$ .

Ta có: f(1) = 3.1 + m = 3+ m

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} f (x) \\ = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + 2 x - 2}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1)}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + 2)}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} (x^{2} + 2) = 3 \end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì phải có: $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$

Nên m + 3 = 3 $\Leftrightarrow m = 0$

Câu 6:

$f (x)$ xác định trên

$[a; b]$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)>0 thì phương trình f(x)=0 không có nghiệm trong khoảng (a;b)

B. Nếu f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

C. Nếu phương trình f(x)=0có nghiệm trong khoảng (a;b) thì hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng (a;b)

D. Nếu hàm số $y = f (x)$ liên tục tăng trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)>0 thì phương trình f(x)=0 không thể có nghiệm trong (a;b)

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số $f (x) = x^{2} - 5$ . Hàm số này xác định trên [−3;3] và liên tục trên đoạn đó, đồng thời $f (- 3) . f (3) = 16 > 0$ nhưng phương trình $f (x) = x^{2} - 5 = 0$ có nghiệm $x = \pm \sqrt{5} \in (- 3; 3)$

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện $f (x)$ liên tục trên $(a; b)$

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x < 0 \\ x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ . Hàm số này xác định trên [−3;3], có nghiệm thuộc khoảng (−3;3) nhưng gián đoạn tại điểm $x = 0 \in (- 3; 3)$ nên không liên tục trên khoảng (−3;3).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số $y = f (x)$ liên tục tăng trên đoạn $[a; b]$ nên $f (a) < f (x) < f (b) \forall x \in (a; b)$

TH1:

$\{\begin{cases} f (a > 0 \\ f (b) > 0 \\ f (a) < f (x) < f (b) \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) > 0$

TH2:

$\{\begin{cases} f (a) < 0 \\ f (b) < 0 \\ f (x) < f (b) \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) < 0$

Vậy không có giá trị nào của x để $f (x) = 0$ hay phương trình $f (x) = 0$ không thể có nghiệm trong $(a; b)$

Câu 7:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I ) $f (x)$ liên tục trên đoạn [ (a;b) ] và $f (a) . f (b) > 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b)$ sao cho

(II) )Nếu $f (x)$ liên tục trên đoạn $(a; b]$ và trên $[b; c)$ thì không liên tục $(a; c)$

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II)đúng

D. Cả (I) và (II)sai.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

KĐ 1 sai vì $f (a) . f (b) > 0$ vẫn có thể xảy ra trường hợp $f (x) = 0$ vô nghiệm trên khoảng

KĐ 2 sai vì nếu $f (x)$ liên tục trên đoạn $(a; b]$ và trên $[b; c)$ thì liên tục $(a; c)$

Câu 8:

Hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} - x \cos x, x < 0 \\ \frac{x^{2}}{1 + x}, 0 \leq x < 1 \\ x^{3}, x \geq 1 \end{cases}$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = 0$

B. Liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1$

C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm $x = 0; x = 1$

D. Liên tục tại mọi điểm $x \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y = f (x)$ liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0;1), (1;+∞) nên ta chỉ xét tính liên tục của $y = f (x)$ tại các điểm $x = 0; x = 1$ .

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{1 + x} = \frac{0^{2}}{1 + 0} = 0 \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (- x \cos x) = - 0. c os0 = 0 \\ f (0) = \frac{0}{1 + 0} = 0 \end{array}\} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0) \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 0$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} x^{3} = 1^{3} = 1 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2}}{1 + x} = \frac{1^{2}}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{array}\} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \end{array}$

Không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$

Hàm số không liên tục tại $x = 1$ .

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1$ .

Câu 9:

22/07/2024

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2}, x > 8 \\ a x + 4, x \leq 8 \end{cases}$ . Để hàm số liên tục tại $x = 8$ , giá trị của a là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 8^{+}} f (x) = \lim_{x \to 8^{+}} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2} \\ = \lim_{x \to 8^{+}} ({\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4) \\ = {\sqrt[3]{8}}^{2} + 2. \sqrt[3]{8} + 4 = 12 \\ \lim_{x \to 8^{-}} f (x) = \lim_{x \to 8^{-}} (a x + 4) \\ = 8 a + 4 \\ f (8) = 8 a + 4 \end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 8$

$\Leftrightarrow 12 = 8 a + 4 \Leftrightarrow a = 1$

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 1000 x^{2} + 0, 01$ . Phương trình $f (x) = 0$ . có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:

I. $(- 1; 0)$

II. $(0; 1)$

III. $(1; 2)$

IV. $(2; 1000)$

A. Chỉ I, II, III.

B. Chỉ I và II

C. Chỉ I, II, IV.

D. Cả I, II, III IV.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ: $D = R$

Hàm số $f (x) = x^{3} - 1000 x^{2} + 0, 01$ liên tục trên nên liên tục trên [−1;0], [0;1], [1;2] và [2;1000] (1).

Ta có $f (- 1) = - 1000, 99; f (0) = 0, 01$

suy ra $f (- 1) . f (0) < 0. (2)$

Từ (1)và (2) suy ra phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (−1;0)

Ta có $f (0) = 0, 01; f (1) = - 999, 99$

suy ra $f (0) . f (1) < 0. (3)$

Từ (1) và (3) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1).

Ta có $f (1) = - 999, 99, f (2) = - 39991, 99$

suy ra $f (1) . f (2) > 0. (4)$

Từ (1) và (4) ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình $f (x) = 0$ trên khoảng (1;2).

Ta có: $f (2) = - 39991, 99 < 0, f (1000) = 0, 01 > 0$ nên phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (2;1000)

Mà phương trình bậc ba chỉ có nhiều nhất ba nghiệm nên ở mỗi khoảng I, II, IV thì phương trình đều có 1 nghiệm và trên khoảng (1;2) không có nghiệm.

Câu 11:

18/07/2024

Cho hàm

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, x \neq 1 \\ 4, x = 1 \\ \sqrt{x + 3}, x \geq 3 \end{cases}$ . Hàm số

$f (x)$ liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc R.

B. mọi điểm trừ $x = 1$

C. mọi điểm trừ $x = 3$

D. mọi điểm trừ $x = 1; x = 3$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y = f (x)$ có TXĐ: D = R .

Dễ thấy hàm số $y = f (x)$ liên tục trên mỗi khoảng (−∞;1), (1;3) và (3;+∞).

Ta có :

$\{\begin{cases} f (1) = 4 \\ \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow$ $f (x)$ gián đoạn tại $x = 1$

Ta có :

$\{\begin{cases} f (3) = 2 \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 3^{-}} (x + 1) = 4 \end{cases}$

$\Rightarrow$ $f (x)$ gián đoạn tại $x = 3$

Câu 12:

22/07/2024

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x}, 0 < x < 9 \\ m, x = 0 \\ \frac{3}{x}, x \geq 9 \end{cases}$ . Tìm m để $f (x)$ liên tục trên $[0; + \infty)$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số liên tục trên (0;9) ∪ (9;+∞), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 9$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} \\ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{9 - (9 - x)}{x (3 + \sqrt{9 - x})} \\ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{3 + \sqrt{9 - x}} \\ = \frac{1}{3 + \sqrt{9 - 0}} = \frac{1}{6} \end{array}$

Mà $f (0) = m \Rightarrow$ để hàm số liên tục tại x=0 thì $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) \Leftrightarrow \frac{1}{6} = m$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 9^{+}} f (x) = \lim_{x \to 9^{+}} \frac{3}{x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \lim_{x \to 9^{-}} f (x) = \lim_{x \to 9^{-}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} = \frac{3 - \sqrt{9 - 9}}{9} = \frac{1}{3} \\ f (9) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{array}\}$

$\Rightarrow \lim_{x \to 9^{+}} f (x) = \lim_{x \to 9^{-}} f (x) = f (9)$

$\Rightarrow$ hàm số liên tục tại $x = 9$ .

Vậy với $m = \frac{1}{6}$ thì hàm số liên tục trên [0;+∞)

Câu 13:

21/07/2024

Biết rằng

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}, x \neq 1 \\ a, x = 1 \end{cases}$ liên tục trên đoạn (0;1) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là một số nguyên

B. a là một số vô tỉ

C. a > 5.

D. a < 0.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định và liên tục trên [0;1). Khi đó liên tục trên [0;1] khi và chỉ khi

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) . (*)$

Ta có :

Câu 14:

Cho hàm số (f( x )) liên tục trên đoạn

$[- 1; 4]$ sao cho

$f (- 1) = 2; f (4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình

$f (x) = 5$ trên đoạn

$[- 1; 4]$ :

A. Vô nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có đúng một nghiệm.

D. Có đúng hai nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có $f (x) = 5 \Leftrightarrow f (x) - 5 = 0$

Đặt $g (x) = f (x) - 5$

Khi đó

$\{\begin{cases} g (- 1) = f (- 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \\ g (4) = f (4) - 5 = 7 - 5 = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow g (- 1) . g (4) < 0$

Vậy phương trình $g (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình $f (x) = 5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).

Câu 15:

$f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ . Số nghiệm của phương trình

$f (x) = 0$ trên R là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (−2;−1),(−1;0),(0;2).

Ta có:

$• \{\begin{cases} f (- 2) = - 3 \\ f (- 1) = 1 \end{cases} \Rightarrow f (- 2) . f (- 1) < 0$

$\Rightarrow (1)$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-2;-1)

$• \{\begin{cases} f (- 1) = 1 \\ f (0) = - 1 \end{cases} \Rightarrow f (- 1) . f (0) < 0$

$\Rightarrow (1)$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0)

$• \{\begin{cases} f (2) = 1 \\ f (0) = - 1 \end{cases} \Rightarrow f (2) . f (0) < 0$

$\Rightarrow (1)$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2)

Như vậy phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng (−2;2)

Tuy nhiên phương trình $f (x) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.

Vậy phương trình $f (x) = 0$ có đúng 3 nghiệm trên.

Câu 16:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\tan x}{x}, x \neq 0; x \neq \frac{π}{2} + k 2 π (k \in R) \\ 0, x = 0 \end{cases}$ . Hàm số

$y = f (x)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. $(0; \frac{π}{2})$

B. $(- \infty; \frac{π}{4})$

C. $(- \frac{π}{4}; \frac{π}{4})$

D. $ℝ$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{\cos x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} . \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \\ = 1. \frac{1}{cos0} = 1 \\ f (0) = 0 \end{array}\}$

$\Rightarrow \lim_{x \to 0} f (x) \neq f (0) = 0$

$\Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0$ , do đó loại các đáp án B, C, D.

Câu 17:

Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

Biết rằng $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Tìm giá trị thực của tham số để hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1 + \cos x}{{(x - π)}^{2}}, x \neq π \\ m, x = π \end{cases}$ liên tục tại $x = π$

A. $m = \frac{π}{2}$

B. $m = - \frac{π}{2}$

C. $m = \frac{1}{2}$

D. $m = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x \in R$ . Điều kiện của bài toán trở thành:

Khi đó (∗) trở thành:

$m = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} {(\frac{\sin t}{t})}^{2} = \frac{1}{2} {.1}^{2} = \frac{1}{2}$

Câu 18:

21/07/2024

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x}, x \neq 0 \\ 4 x^{2} + 5 b, x = 0 \end{cases}$ liên tục tại x = 0.

A. $a = 5 b$

B. $a = 10 b$

C. $a = b$

D. $a = 2 b$

Xem đáp án

Đáp án: B

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A. Hàm số liên tục trên khoảng (0;3).

B. Hàm số liên tục trên khoảng (0;2).

C. Hàm số không liên tục trên khoảng (−∞;0).

D. Hàm số không liên tục trên khoảng (0;4).

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Quan sát đồ thị ta thấy

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 3; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ .

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm $x = 1$ .

Do đó hàm số không liên tục trên mọi khoảng có chứa điểm $x = 1$ hay A, B sai, D đúng.

Đáp án C sai do hàm số liên tục trên khoảng (−∞;0).

Câu 20:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ . Hàm số

$f (x)$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. (−∞;3)

B. (2;3)

C. (−3;2)

D. (−3;+∞)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ:

$D = R \ \{- 3; - 2\} = (- \infty; - 3) \cup (- 3; - 2) \cup (- 2; + \infty)$

nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 3) \cup (- 3; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ .

Vì $(2; 3) \subset (- 2; + \infty)$

⇒ Hàm số liên tục trên (2;3).

Câu 21:

Hàm số

$f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$ liên tục trên:

A. [−4;3]

B. [−4;3)

C. (−4;3]

D. [−∞;−4]∪[3;+∞).

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Điều kiện:

$\{\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 3 - x \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 4 \\ x \leq 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow - 4 < x \leq 3$

TXĐ: D=(-4;3].

Với mọi $x_{0} \in (- 4; 3)$ ta có:

Câu 22:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

Hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x}, k h i x \neq 0, x \neq - 1 \\ 3, k h i x = - 1 \\ 1, k h i x = 0 \end{cases}$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn (−1;0)

B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.

C. Liên tục tại mọi điểm

D. Liên tục tại mọi điểm trừ x=−1

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm phân thức $y = \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x}$ có txđ D=R∖{0;−1} và liên tục trên các khoảng (−∞;−1),

(- 1; 0) và (0;+∞).

Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y = f (x)$ tại các điểm $x = 0; x = - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x} \\ = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x + 1} \\ = \lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 1) \\ = 3 = f (- 1) \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = - 1$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 1}{x + 1} = 1 = f (0) \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 0$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in R$ .

Câu 23:

18/07/2024

Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{\sqrt{4 x - 3} - x}, x > 3 \\ 1 - a^{2} x, x \leq 3 \end{cases}$ liên tục tại $x = 3$ .

A. $- \frac{2}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{- 4}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{\sqrt{4 x - 3} - x}, x > 3 \\ 1 - a^{2} x, x \leq 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (3) = 1 - 3 a^{2} \\ \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) \frac{x^{2} - 5 x + 6}{\sqrt{4 x - 3} - x} \\ = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x - 2) (x - 3) (\sqrt{4 x - 3} + x)}{(\sqrt{4 x - 3} - x) (\sqrt{4 x - 3} + x)} \\ = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x - 2) (x - 3) (\sqrt{4 x - 3} + x)}{4 x - 3 - x^{2}} \\ = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x - 2) (x - 3) (\sqrt{4 x - 3} + x)}{- (x - 3) (x - 1)} \\ = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x - 2) (\sqrt{4 x - 3} + x)}{- (x - 1)} \\ = \frac{(3 - 2) (\sqrt{12 - 3} + 3)}{- (3 - 1)} = - 3 \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (1 - a^{2} x) = 1 - 3 a^{2} \end{array}$

Do đó hàm số liên tục tại

$\begin{array}{l} x = 3 \\ \Leftrightarrow \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = f (3) \\ \Leftrightarrow 1 - 3 a^{2} = - 3 \\ \Leftrightarrow - 3 a^{2} = - 4 \\ \Leftrightarrow a^{2} = \frac{4}{3} \\ \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}$

Câu 24:

19/07/2024

$x^{3} - 3 x^{2} + (2 m - 2) x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm

$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn

$x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$

A. m > -5

B. m < -5

C. $m \leq 3$

D. m < -6

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + (2 m - 2) x + m - 3$ .

Ta thấy hàm số liên tục trên R.

Dễ thấy nếu $x \to - \infty$ thì $f (x) \to - \infty$ hay $f (x) < 0$

nếu $x \to + \infty$ thì $f (x) \to + \infty$ hay $f (x) > 0$

Suy ra điều kiện cần để f(x)=0 có 3 nghiệm thỏa $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ là:

$\begin{array}{l} f (- 1) > 0 \\ \Leftrightarrow - 1 - 3.1 + (2 m - 2) . (- 1) + m - 3 > 0 \\ \Leftrightarrow - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5 \end{array}$

Điều kiện đủ: với $m < - 5$ ta có

*) $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ nên tồn tại $a < - 1$ sao cho $f (a) < 0$

Mặt khác $f (- 1) = - m - 5 > 0$ .

Suy ra $f (a) . f (- 1) < 0$

Do đó tồn tại $x_{1} \in (a; - 1)$ sao cho $f (x_{1}) = 0$

*) $f (0) = m - 3 < 0, f (- 1) > 0$ . Suy ra $f (0) . f (- 1) < 0$

Do đó tồn tại $x_{2} \in (- 1; 0)$ sao cho $f (x_{2}) = 0$

*) $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ nên tồn tại $b > 0$ sao cho $f (b) > 0$

Mặt khác $f (0) < 0$ . Suy ra $f (0) . f (b) < 0$

Do đó tồn tại $x_{3} \in (0; b)$ sao cho $f (x_{3}) = 0$

Vậy $m < - 5$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25:

Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số.

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2}, x > 2 \\ a^{2} x - \frac{7}{4}, x \leq 2 \end{cases}$ liên tục tại

$x = 2$

A. $a_{m a x} = 3$

B. $a_{m a x} = 0$

C. $a_{m a x} = 1$

D. $a_{m a x} = 2$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì:

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2) . (*)$

Ta có : $f (2) = 2 a^{2} - \frac{7}{4}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a^{2} x - \frac{7}{4}) = 2 a^{2} - \frac{7}{4} \\ \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \\ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} \\ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(\sqrt[3]{3 x + 2} - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} \\ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 x - 6}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} \\ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3}{(\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} = \frac{1}{4} \\ (*) \Leftrightarrow 2 a^{2} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow 8 a^{2} - 7 = 1 \\ \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1 \\ \Rightarrow a_{\max} = 1 \end{array}$

Câu 26:

22/07/2024

Biết rằng

$\lim_{x \to 0} = \frac{\sin x}{x} = 1$ . Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sin π x}{x - 1}, x \neq 1 \\ m, x = 1 \end{cases}$ liên tục tại

$x = 1$ .

A. $m = - π$

B. $m = π$

C. m = -1

D. m = 1

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Tập xác định $D = R$ . Điều kiện bài toán tương đương với

$\begin{array}{l} m = f (1) = \lim_{x \to 1} f (x) \\ = \lim_{x \to 1} \frac{\sin π x}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{- \sin (π x - π)}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{- \sin π (x - 1)}{x - 1} \\ = \lim_{x \to 1} [(- π) . \frac{\sin π (x - 1)}{π (x - 1)}] (*) \end{array}$

Đặt $t = π (x - 1)$ thì $t \to 0$ khi $x \to 1$ . Do đó (*) trở thành:

Câu 27:

18/07/2024

$f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2}, |x| \leq 1 \\ |x - 1|, |x| > 1 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục tại x=1 và x= −1

B. Hàm số liên tục tại x=1, không liên tục tại điểm x= −1.

C. Hàm số không liên tục tại x=1 và x=−1.

D. Tất cả đều sai.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$\begin{array}{l} f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2}, |x| \leq 1 \\ |x - 1|, |x| > 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2}, - 1 \leq x \leq 1 \\ |x - 1|, [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array} \end{cases} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} |x - 1| = 0 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \cos \frac{π x}{2} = \cos \frac{π}{2} = 0 \\ f (1) = \cos \frac{π}{2} = 0 \end{array}\} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) = 0 \end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 1$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to \infty} \cos \frac{π x}{2} = \cos \frac{- π}{2} = 0 \\ \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} |x - 1| = 2 \end{array}\} \\ \Rightarrow \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số không liên tục tại $x = - 1$ .

Câu 28:

Giá trị thực của tham số để hàm số

Cho phương trình

$2 x^{4} - 5 x^{2} + x + 1 = 0 (1)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong (-2;1)

B. Phương trình (1) có ít nhất hai nhiệm trong khoảng (2;0)

C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2;0)

D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ: $D = R$ .

Hàm số $f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{2} + x + 1$ liên tục trên .

Ta có:

$\begin{array}{l} f (- 1) = - 3, f (0) = 1 \\ \Rightarrow f (- 1) f (0) < 0 \end{array}$

Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (-1;0) (-2;1)

Ta có:

$\begin{array}{l} f (0) = 1; f (1) = - 1 \\ \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \end{array}$

Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1) (-2;1)

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (-2;1)

Đáp án A sai.

Ta có:

$\begin{array}{l} f (- 1) = - 3, f (0) = 1 \\ \Rightarrow f (- 1) f (0) < 0 \end{array}$

Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (-1;0) (-2;0)

Đáp án C sai.

Ta có:

$\begin{array}{l} f (0) = 1; f (1) = - 1 \\ \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \end{array}$

Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (0;1) (-1;1)

Đáp án D sai.

Câu 29:

19/07/2024

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ m, x = 0 \end{cases}$ liên tục tại

$x = 0$ thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Với mọi $x \neq 0$ ta có;

$0 \leq |f (x)| = |x^{2} \sin \frac{1}{x}| \leq x^{2} \to 0$ khi

$x \to 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} x^{2} . \sin \frac{1}{x} = 0$

Mà f(0) = m nên để hàm số liên tục tại x = 0 thì :

$m = f (0) = \lim_{x \to 0} f (x) = 0$

Câu 30: