15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (Nhận biết)

Câu 1:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{9 x^{2} - x}{(2 x - 1) (x^{4} - 3)}}$ là

A. $\frac{1}{5}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

D. 5

Xem đáp án

Đáp án:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{9 x^{2} - x}{(2 x - 1) (x^{4} - 3)}} \\ = \sqrt{\frac{{9.3}^{2} - 3}{(2.3 - 1) (3^{4} - 3)}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x}}$ là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x}} = \sqrt[3]{\frac{2^{2} - 2 - 1}{2^{2} + 2.2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to \sqrt{3}} |x^{2} - 4|$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to \sqrt{3}} |x^{2} - 4| = |{(\sqrt{3})}^{2} - 4| = |- 1| = 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to - \infty} (x - x^{3} + 1)$ là

A. 1

B. $- \infty$

C. 0

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to - \infty} (x - x^{3} + 1) = \lim_{x \to - \infty} x^{3} (\frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{1}{x^{3}}) = + \infty$

Vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty \\ \underset{x \to - \infty}{\lim (\frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{1}{x^{3}})} = - 1 < 0 \end{cases}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

17/06/2026

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 15}{x - 2}$ là

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C. $- \frac{15}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

Vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} (x - 15) = 2 - 15 = - 13 < 0 \\ \lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \\ x - 2 > 0, \forall x > 2 \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 15}{x - 2} = - \infty$

*Phương pháp giải:

Tính giới hạn một bên của tử và mẫu rồi suy ra kết quả

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to \infty} f (x) = L$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\lim_{x \to \infty} x = x_{0}, \lim_{x \to \infty} c = c$ với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ . Khi đó:

$\lim_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)] = L + M; \lim_{x \to x_{0}} [f (x) - g (x)] = L - M; \lim_{x \to x_{0}} f (x) . g (x) = L . M; \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L}{M} (M \neq 0);$

b) Nếu $f (x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L} .$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $x \neq x_{0}$ ).

Xem thêm

Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới + Bài Tập) – Toán 11

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số (có đáp án ) – Toán 11

Câu 6:

17/06/2026

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}}$ là

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C. -152

D. Không xác định

Xem đáp án

Đáp án:

Vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x + 2} = \sqrt{2 + 2} = 2 > 0 \\ \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x - 2} = \sqrt{2 - 2} = 0 \\ \sqrt{x - 2} > 0, \forall x > 2 \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}} = + \infty$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

17/06/2026

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} [- f (x)] = + \infty$

B. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} [- f (x)] = - \infty$

C. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to - \infty} [- f (x)] = - \infty$

D. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} [- f (x)] = - \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} [- f (x)] = - \infty$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ là

A. 0

B. $+ \infty$

C. $\sqrt{2} - 1$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = + \infty$

vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to + \infty} x = + \infty \\ \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = 2 > 0 \end{cases}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{3 x^{3} - 1} + \sqrt{x^{2} + 2})$ là

A. $\sqrt[3]{3} + 1$

B. $+ \infty$

C. $\sqrt[3]{3} - 1$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{3 x^{3} - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt[3]{3 - \frac{1}{x^{3}}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}) = + \infty$

Vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to + \infty} x = + \infty \\ \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{3 - \frac{1}{x^{3}}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0 \end{cases}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x}{\sqrt{1 - x}}, x < 1 \\ \sqrt{3 x^{2} + 1}, x \geq 1 \end{cases}$ . Khi đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ là:

A. $+ \infty$

B. 2

C. 1

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt{3 x^{2} + 1} = \sqrt{{3.1}^{2} + 1} = 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{x - x^{3}}{(2 x - 1) (x^{4} - 3)}$ là:

A. 1

B. -2

C. 0

D. -32

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to 1} \frac{x - x^{3}}{(2 x - 1) (x^{4} - 3)} = \frac{1 - 1^{3}}{(2.1 - 1) (1^{4} - 3)} = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 1} - x}{x - 1}$ là

A. $- \frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án:

Ta có $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 1} - x}{x - 1} = \frac{\sqrt{3 + 1} + 1}{- 1 - 1} = - \frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

17/06/2026

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1}$ bằng?

A. -3

B. -2

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{3 - 0 - 0}{1 + 0} = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

17/06/2026

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} + 2 - x}{\sqrt{9 x^{2} - 3 x} + 2 x}$ là:

A. -15

B. $+ \infty$

C. $- \infty$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} + 2 - x}{\sqrt{9 x^{2} - 3 x} + 2 x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 2 - x}{x . \sqrt{9 - \frac{3}{x}} + 2 x} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2}{x} - 1}{\sqrt{9 - \frac{3}{x}} + 2} = \frac{\sqrt{4 - 0 + 0} + 0 - 1}{\sqrt{9 - 0} + 2} = \frac{1}{5} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

17/06/2026

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{2} + 4 x})$ là

A. $\frac{7}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $+ \infty$

C. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{2} + 4 x}) = \lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{2} + 4 x}) . (\sqrt{x^{2} + 3 x} + \sqrt{x^{2} + 4 x})}{\sqrt{x^{2} + 3 x} + \sqrt{x^{2} + 4 x}} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x}{x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x \sqrt{1 + \frac{4}{x}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x}{x . (\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}})} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3