Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x\in R$.

Điều kiện bài toán trở thành

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right).(*)$

Ta có:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y=h\left(x\right)$ có TXĐ: $D=R$

Dễ thấy hàm số $y=h\left(x\right)$ liên tục trên mỗi khoảng (−∞;0),(0;2) và (2;+∞).

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}h\left(0\right)=0^2+1=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ không liên tục tại $x=0$

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}\\ =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(3-x\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x+1-4}\\ =\underset{x\to 3}{\lim }\left(-\sqrt{x+1}-2\right)\\ =-\sqrt{3+1}-2=-4\end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x=3$ thì 

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)\iff m=-4$

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}=1;f\left(0\right)=a+2$

Vậy để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $a+2=1\iff a=-1$

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x\in R$.

Ta có: f(1) = 3.1 + m =  3+ m

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2(x-1)+2(x-1)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+2)=3\end{array}$

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-5$. Hàm số này xác định trên [−3;3] và liên tục trên đoạn đó, đồng thời $f(-3).f\left(3\right)=16>0$ nhưng phương trình $f\left(x\right)=x^2-5=0$ có nghiệm $x=\pm \sqrt{5}\in \left(-3;3\right)$

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện $f\left(x\right)$ liên tục trên $(a;b)$

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+1,x<0\\ x+2,x\ge 0\end{array}\right.$. Hàm số này xác định trên [−3;3], có nghiệm  thuộc khoảng (−3;3) nhưng gián đoạn tại điểm $x=0\in \left(-3;3\right)$ nên không liên tục trên khoảng (−3;3).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

KĐ 1 sai vì $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$ vẫn có thể xảy ra trường hợp $f\left(x\right)=0$ vô nghiệm trên khoảng  

KĐ 2 sai vì nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left(a;b\right]$ và trên $[b;c)$ thì liên tục $\left(a;c\right)$

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0;1), (1;+∞) nên ta chỉ xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0; x=1$.

$\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{1+x}=\frac{0^2}{1+\text{}0}=0\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-x\cos x\right)=-0.c\text{os0}=0\\ f\left(0\right)=\frac{0}{1+0}=0\end{array}\right\}\\ \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$

 $\Rightarrow$Hàm số liên tục tại $x=0$

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 8^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\\ =\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\left({\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4\right)\\ ={\sqrt[3]{8}}^2+2.\sqrt[3]{8}+4=12\\ \underset{x\to 8^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{-}}{\lim }(ax+4)\\ =8a+4\\ f\left(8\right)=8a+4\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x=8$

$\iff 12=8a+4\iff a=1$ 

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ: $D=R$

Hàm số $f\left(x\right)=x^3-1000x^2+0,01$ liên tục trên nên liên tục trên [−1;0], [0;1], [1;2] và [2;1000]  (1).

Ta có $f(-1)=-1000,99; f\left(0\right)=0,01$

 suy ra $f(-1).f\left(0\right)<0. \left(2\right)$

Từ (1)và (2) suy ra phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (−1;0)

Ta có $f\left(0\right)=0,01;f\left(1\right)=-999,99$ 

suy ra $f\left(0\right).f\left(1\right)<0.\left(3\right)$

Từ (1) và (3) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1).

Ta có $f\left(1\right)=-999,99,f\left(2\right)=-39991,99$

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có TXĐ: D = R .

Dễ thấy hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên mỗi khoảng (−∞;1), (1;3) và (3;+∞).

Ta có :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=4\\ \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ $f\left(x\right)$ gián đoạn tại $x=1$

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số liên tục trên (0;9) ∪ (9;+∞), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại $x=0$ và $x=9$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{9-(9-x)}{x(3+\sqrt{9-x})}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}\\ =\frac{1}{3+\sqrt{9-0}}=\frac{1}{6}\end{array}$

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định và liên tục trên [0;1). Khi đó  liên tục trên [0;1] khi và chỉ khi  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right).(*)$

Ta có :

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có $f\left(x\right)=5\iff f\left(x\right)-5=0$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-5$

Khi đó

$\left\{\begin{array}{l}g(-1)=f(-1)-5=2-5=-3\\ g\left(4\right)=f\left(4\right)-5=7-5=2\end{array}\right.$

$\Rightarrow g(-1).g\left(4\right)<0$

Vậy phương trình $g\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình $f\left(x\right)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x-1$ là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (−2;−1),(−1;0),(0;2).

Ta có:

$•\left\{\begin{array}{l}f(-2)=-3\\ f(-1)=1\end{array}\right.\Rightarrow f(-2).f(-1)<0$

$\Rightarrow \left(1\right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-2;-1)

$•\left\{\begin{array}{l}f(-1)=1\\ f\left(0\right)=-1\end{array}\right.\Rightarrow f(-1).f\left(0\right)<0$

$\Rightarrow \left(1\right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0)

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

$\left.\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\\ =1.\frac{1}{\text{cos0}}=1\\ f\left(0\right)=0\end{array}\right\}$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(0\right)=0$

$\Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại điểm $x=0$ , do đó loại các đáp án B, C, D.

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm số xác định với mọi $x\in R$. Điều kiện của bài toán trở thành:

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Quan sát đồ thị ta thấy

 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm $x=1$.

Do đó hàm số không liên tục trên mọi khoảng có chứa điểm $x=1$ hay A, B sai, D đúng.

Đáp án C sai do hàm số liên tục trên khoảng (−∞;0).

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ:

$D=R\backslash \left\{-3;-2\right\}=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-3;-2\right)\cup \left(-2;+\infty \right)$

nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-3;-2\right)\cup \left(-2;+\infty \right)$.

Vì $\left(2;3\right)\subset \left(-2;+\infty \right)$

⇒ Hàm số liên tục trên (2;3).

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Điều kiện: 

$\left\{\begin{array}{l}x+4>0\\ 3-x\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-4\\ x\le 3\end{array}\right.$

$\iff -4<x\le 3$

 TXĐ: D=(-4;3].

Với mọi $x_0\in (-4;3)$ ta có: 

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Hàm phân thức $y=\frac{x^4+x}{x^2+x}$ có txđ D=R∖{0;−1} và liên tục trên các khoảng (−∞;−1),

(- 1; 0) và (0;+∞).

Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0; x=-1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}\\ =\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}\\ =\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+1\right)\\ =3=f(-1)\end{array}$

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{4x-3}-x},x>3\\ 1-a^{2}x,x\le 3\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}f\left(3\right)=1-3a^2\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{4x-3}-x}\\ =\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)(\sqrt{4x-3}+x)}{(\sqrt{4x-3}-x)(\sqrt{4x-3}+x)}\\ =\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)(\sqrt{4x-3}+x)}{4x-3-x^2}\\ =\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)(\sqrt{4x-3}+x)}{-(x-3)(x-1)}\\ =\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(\sqrt{4x-3}+x)}{-(x-1)}\\ =\frac{(3-2)(\sqrt{12-3}+3)}{-(3-1)}=-3\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }(1-a^{2}x)=1-3a^2\end{array}$

Do đó hàm số liên tục tại 

$\begin{array}{l}x=3\\ \iff \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)\\ \iff 1-3a^2=-3\\ \iff -3a^2=-4\\ \iff a^2=\frac{4}{3}\\ \iff a=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\\ \Rightarrow a_{\min }=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Đặt $f\left(x\right)=x^3-3x^2+(2m-2)x+m-3$.

Ta thấy hàm số liên tục trên R.

Dễ thấy nếu $x\to -\infty$ thì $f\left(x\right)\to -\infty$ hay $f\left(x\right)<0$

nếu $x\to +\infty$ thì $f\left(x\right)\to +\infty$ hay $f\left(x\right)>0$

Suy ra điều kiện cần để f(x)=0 có 3 nghiệm thỏa $x_1<-1<x_2<x_3$ là:

$\begin{array}{l}f(-1)>0\\ \iff -1-3.1+\text{}(2m-2).(-1)+\text{}m-3>0\\ \iff -m-5>0\iff m<-5\end{array}$

Điều kiện đủ: với $m<-5$ ta có

*) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ nên tồn tại $a<-1$ sao cho $f\left(a\right)<0$ 

Mặt khác $f(-1)=-m-5>0$.

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right).(*)$

Ta có : $f\left(2\right)=2a^2-\frac{7}{4}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(a^{2}x-\frac{7}{4}\right)=2a^2-\frac{7}{4}\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\\ =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}\\ =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\sqrt[3]{3x+2}-2\right)\left(\sqrt[3]{{(3x+2)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4\right)}{(x-2)\left(\sqrt[3]{{(3x+2)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4\right)}\\ =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x-6}{(x-2)\left(\sqrt[3]{{(3x+2)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4\right)}\\ =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3}{\left(\sqrt[3]{{(3x+2)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4\right)}=\frac{1}{4}\\ (*)\iff 2a^2-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\\ \iff 8a^2-7=1\\ \iff a^2=1\iff a=\pm 1\\ \Rightarrow a_{\max }=1\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2},\left|x\right|\le 1\\ \left|x-1\right|,\left|x\right|>1\end{array}\right.\\ \iff f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2},-1\le x\le 1\\ \left|x-1\right|,\left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-1\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

TXĐ: $D=R$.

Hàm số $f\left(x\right)=2x^4-5x^2+x+1$ liên tục trên .

Ta có:

$\begin{array}{l}f(-1)=-3,f\left(0\right)=1\\ \Rightarrow f(-1)f\left(0\right)<0\end{array}$

 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (-1;0) (-2;1)

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=-1\\ \Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\end{array}$

Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1) (-2;1)

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (-2;1)

 Đáp án A sai.

Ta có:

$\begin{array}{l}f(-1)=-3,f\left(0\right)=1\\ \Rightarrow f(-1)f\left(0\right)<0\end{array}$

 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (-1;0) (-2;0)

 Đáp án C sai.

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=-1\\ \Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\end{array}$

 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong (0;1) (-1;1)

 Đáp án D sai.

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Với mọi $x\ne 0$ ta có;

$0\le \left|f\left(x\right)\right|=\left|x^2\sin \frac{1}{x}\right|\le x^2\to 0$ khi

$x\to 0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\text{}\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2.\sin \frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}=0$

Mà f(0) = m nên để hàm số liên tục tại x = 0 thì :

  $m=f\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$