Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

$u_1=\frac{1}{2};q=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

 Đáp án cần chọn là: A

Dãy số $\left(u_n\right)$ mà $u_n=\frac{2}{n}$ có giới hạn 0.

Đáp án cần chọn là: B

Do $0<q=\frac{1}{3}<1$ nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

$\begin{array}{l}S=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n\\ \end{array}$

$=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

$\Rightarrow \lim S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

$=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=3$

Đáp án cần chọn là: D

Vì $S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$ nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội 

$q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}$.

Theo công thức tính tổng $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ ta được:

$S_n=\frac{2(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

Đáp án cần chọn là: A

$C=\lim \sqrt{\frac{{3.3}^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}}$

$=\lim \sqrt{\frac{{3.3}^n+4^n}{{3.3}^n+{4.4}^n}}$

$=\lim \sqrt{\frac{3.{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}{3.{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+4}}$

$=\sqrt{\frac{3.0+\text{}1}{3.0+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4}}=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: 

$\lim \left({3.2}^{n+1}-{5.3}^n+7n\right)$

$=\lim \left({6.2}^n-{5.3}^n+7n\right)$

$=\lim 3^n\left(6{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-5+7\frac{n}{3^n}\right)$

$=-\infty$

Vì $\lim \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{3}^n=+\infty ;$

$\lim \left(6{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-5+7\frac{n}{3^n}\right)$

$=6.0-5+\text{}7.0=-5<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: C

Ta thấy: 

$\frac{1}{2^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n;\frac{1}{3^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n;$

$\frac{1}{{\left(0,5\right)}^n}={\left(\frac{1}{0,5}\right)}^n=2^n;$

$\frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n$

Mà $\frac{1}{2}<1;\frac{1}{3}<1;\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ nên các đáp án A, B, D đúng.

Vì $2>1$ nên $\lim 2^n=+\infty$ nên C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Vì  $\lim u_n=-\frac{1}{2}$ nên $\lim \left(u_n+\frac{1}{2}\right)=0$ 

Đáp án cần chọn là: B

$u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

$=\left(\frac{2^2-1}{2^2}\right).\left(\frac{3^2-1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)$

$=\frac{\left(2^2-1\right)\left(3^2-1\right)\mathrm{...}\left(n^2-1\right)}{2{}_2.3^2\mathrm{...}{n}^2}$

$=\frac{\left(1.3\right)\left(2.4\right)\left(3.5\right)\left(4.6\right)\mathrm{...}\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]}{2{}_2.3^2\mathrm{...}{n}^2}$

$=\frac{n+1}{2n}$

$\Rightarrow \lim u_n=\lim \frac{n+1}{2n}$

$=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án A: 

$\lim \left(u_n-2v_n\right)=\frac{5}{3}-2\left(-\frac{2}{3}\right)$

$=3\ne \frac{1}{3}$ nên A sai.

Đáp án B:

 $\lim \left(2u_n-v_n\right)=2.\frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=4$

 nên B đúng.

Đáp án C: 

$\lim \left(u_n-v_n\right)=\frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)$

$=\frac{7}{3}\ne 1$ nên C sai.

Đáp án D:  

$\lim \left(u_n+v_n\right)=\frac{5}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)$

$=1\ne \frac{1}{3}$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B

$\lim u_n=\lim \frac{1-4n}{5n}$

$=\lim \frac{\frac{1}{n}-4}{5}=\frac{0-4}{5}$

$=-\frac{4}{5}$

Đáp án cần chọn là: B

$\lim u_n=\lim \frac{n^2-3n}{1-4n^3}$

$=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}{\frac{1}{n^3}-4}=\frac{0-0}{0-4}=0$

Đáp án cần chọn là: A

$\lim u_n=\lim \frac{3^n+5^n}{5^n}$

$=\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+1}{1}$

$=\frac{0+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{1}=1$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: 

$n^3-2n+1$

$=n^3\left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)$

Vì $\lim n^3=+\infty$ và  

$\lim \left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)$

$=1-0+\text{\hspace{0.17em}}0=1>0$

nên $\lim \left(n^3-2n+1\right)=+\infty$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có :

$5n-n^2+1$

$=n^2\left(-1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}\right)$

Vì $\lim n^2=+\infty$ và  $\lim \left(-1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=-1<0$

nên $\lim (5n-n^2+1)=-\infty$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n(n+1)}\right|=\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n.n}=\frac{1}{n^2}$ 

mà $\lim \frac{1}{n^2}=0$ nên suy ra $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n(n+1)}=0$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $1,a,a^2,\mathrm{...},a^n$ là một cấp số nhân có công bội q = a

$\Rightarrow 1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}$

 Tương tự:  

$1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow limI=lim\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}\\ =\lim (\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.\frac{1-b}{1-b^{n+1}})\\ =\lim \left(\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}.\frac{1-b}{1-a}\right)\\ =\frac{1-b}{1-a}\end{array}$

$(Vì\left|a\right|<1,\left|b\right|<1$

$\Rightarrow \lim a^{n+1}=\lim b^{n+1}=0$

Đáp án cần chọn là: C

$\begin{array}{l}{u}_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}\\ u_3=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}\\ u_4=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}\end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp: 

$u_{n+1}=\frac{2^n+1}{2^n},\forall n=1,2,\mathrm{...}(*);$

* Với $n=1;$

$u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}:(*)$ đúng

* Giả sử (*) đúng với $n=k\ge 1$, tức là $u_k=\frac{2^k+1}{2^k}$ ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$,

tức là cần chứng minh $u_{k+1}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Ta có : 

$\begin{array}{l}{u}_{k+1}=\frac{u_k+1}{2}\\ =\frac{\frac{2^k+1}{2^k}+1}{2}\\ =\frac{\frac{2^k+1+2^k}{2^k}}{2}\\ =\frac{{2.2}^k+1}{{2.2}^k}\\ =\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}\end{array}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy là:

$u_n=\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

$=1+\frac{1}{2^{n-1}},\forall n=1;2;\mathrm{...}(\ast )$

Từ (*) ta có 

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n\\ =1+\frac{1}{2^n}-\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ =\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}<0\forall n=1,2,\mathrm{..}\end{array}$                                                                                                                     

⇒ $\left(u_n\right)$ là dãy giảm và $\lim u_n=\lim \left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)=1$  

⇒$\left(u_n\right)$ là dãy giảm tới 1 khi n→+∞

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: 

$u_n-q{u}_n=q+2q^2+\cdots -q\left(q+2q^2+\cdots n{q}^n\right)$

$=q+q^2+q^3+\cdots +q^n-n{q}^{n+1}$

Do $q,q^2,q^3,\mathrm{...},q^n$ là cấp số nhân có công bội q nên:

$u_n-q{u}_n$

$=\frac{q.(1-q^n)}{1-q}-n{q}^{n+1}$  (1)

Mà: $u_n-q{u}_n=(1-q)u_n\left(2\right)$

Từ (1); (2) suy ra:

$(1-q).u_n$

$=\frac{q.(1-q^n)}{1-q}-n{q}^{n+1}$

$=>u_n=q.\frac{1-q^n}{{(1-q)}^2}-\frac{n{q}^{n+1}}{1-q}$

Do $\left|q\right|<1$ nên $\lim q^{n+1}=0;$

$\hspace{0.17em}\lim q^n=0$                                     

Suy ra  

$\begin{array}{l}{u}_n\\ =\lim \left[\frac{q(1-q^n)}{{(1-q)}^2}-\frac{n.q^{n+1}}{1-q}\right]\\ =\frac{q}{{(1-q)}^2}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C