30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1:

22/07/2024

Cho cấp số nhân $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \geq 1$ . Khi đó:

A. $S = 1$

B. $S = \frac{1}{2^{n}}$

C. $S = 0$

D. $S = 2$

Xem đáp án

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

$u_{1} = \frac{1}{2}; q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

22/07/2024

Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A. $u_{n} = \frac{n}{2}$

B. $u_{n} = \frac{2}{n}$

C. $u_{n} = n$

D. $u_{n} = \sqrt{n}$

Xem đáp án

Dãy số $(u_{n})$ mà $u_{n} = \frac{2}{n}$ có giới hạn 0.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

22/07/2024

Cho $(u_{n})$ là một cấp số nhân công bội $q = \frac{1}{3}$ và số hạng đầu $u_{1} = 2$ ,

Đặt $S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Giá $\lim S_{n}$ là:

A. 1

B. 23

C. 43

D. 3

Xem đáp án

Do $0 < q = \frac{1}{3} < 1$ nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

$\begin{array}{l} S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} \end{array}$

$= \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$

$\Rightarrow \lim S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$

$= \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

18/07/2024

Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2, u_{2} = 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ ), khi đó:

A. $S_{n} = 4 (1 - \frac{1}{2^{n}})$

B. $S_{n} = 4$

C. $S_{n} = 2$

D. $S_{n} = (1 - \frac{1}{2^{n}})$

Xem đáp án

Vì $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội

$q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{2}$ .

Theo công thức tính tổng $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ ta được:

$S_{n} = \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 4 (1 - \frac{1}{2^{n}})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

22/07/2024

Giá trị của $C = l i m \sqrt{\frac{3 . 3^{n} + 4^{n}}{3^{n + 1} + 4^{n + 1}}}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $\frac{1}{2}$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

$C = \lim \sqrt{\frac{{3.3}^{n} + 4^{n}}{3^{n + 1} + 4^{n + 1}}}$

$= \lim \sqrt{\frac{{3.3}^{n} + 4^{n}}{{3.3}^{n} + {4.4}^{n}}}$

$= \lim \sqrt{\frac{3. {(\frac{3}{4})}^{n} + 1}{3. {(\frac{3}{4})}^{n} + 4}}$

$= \sqrt{\frac{3.0 + 1}{3.0 + 4}} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

22/07/2024

Biết $l i m u_{n} = 3$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

18/07/2024

Biết $l i m u_{n} = + \infty$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

20/07/2024

Cho hai dãy số $(u_{n})$ , $(v_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$ , $v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

Biết $|\frac{{(- 1)}^{n}}{n}| \leq \frac{1}{n}$ . Chọn kết luận không đúng:

A. $l i m u_{n} = 0$

B. $l i m v_{n} = 0$

C. $l i m u_{n} - l i m v_{n} = 0$

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

20/07/2024

Giới hạn $l i m (3 . 2^{n + 1} - 5 . 3^{n} + 7 n)$ bằng :

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C. 3.

D. −5.

Xem đáp án

Ta có:

$\lim ({3.2}^{n + 1} - {5.3}^{n} + 7 n)$

$= \lim ({6.2}^{n} - {5.3}^{n} + 7 n)$

$= \lim 3^{n} (6 {(\frac{2}{3})}^{n} - 5 + 7 \frac{n}{3^{n}})$

$= - \infty$

Vì $\lim 3^{n} = + \infty;$

$\lim (6 {(\frac{2}{3})}^{n} - 5 + 7 \frac{n}{3^{n}})$

$= 6.0 - 5 + 7.0 = - 5 < 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

18/07/2024

Giới hạn $l i m \frac{{(2 - 5 n)}^{3} {(n + 1)}^{2}}{2 - 25 n^{5}}$ bằng?

A. −4.

B. −1.

C. 5.

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

18/07/2024

Giá trị của $l i m \frac{{(2 n^{2} + 1)}^{4} {(n + 2)}^{9}}{n^{17} + 1}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 16

D. 1

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

22/07/2024

Chọn kết luận không đúng:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Ta thấy:

$\frac{1}{2^{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n}; \frac{1}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n};$

$\frac{1}{{(0, 5)}^{n}} = {(\frac{1}{0, 5})}^{n} = 2^{n};$

$\frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n}$

Mà $\frac{1}{2} < 1; \frac{1}{3} < 1; \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ nên các đáp án A, B, D đúng.

Vì $2 > 1$ nên $\lim 2^{n} = + \infty$ nên C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

22/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $L = - \frac{1}{2}$ . Chọn kết luận đúng:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Vì $\lim u_{n} = - \frac{1}{2}$ nên $\lim (u_{n} + \frac{1}{2}) = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

22/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) . . . (1 - \frac{1}{n^{2}})$ . Khi đó $l i m (u_{n})$ bằng?

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

$u_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})$

$= (\frac{2^{2} - 1}{2^{2}}) . (\frac{3^{2} - 1}{3^{2}}) ... (\frac{n^{2} - 1}{n^{2}})$

$= \frac{(2^{2} - 1) (3^{2} - 1) ... (n^{2} - 1)}{2 {}_{2}. 3^{2} ... n^{2}}$

$= \frac{(1.3) (2.4) (3.5) (4.6) ... [(n - 1) (n + 1)]}{2 {}_{2}. 3^{2} ... n^{2}}$

$= \frac{n + 1}{2 n}$

$\Rightarrow \lim u_{n} = \lim \frac{n + 1}{2 n}$

$= \lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

22/07/2024

Giá trị của $D = l i m (\sqrt{n^{2} + 2 n} - \sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}})$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

23/07/2024

Cho các dãy số $u_{n}, v_{n}$ có $l i m u_{n} = \frac{5}{3}, l i m v_{n} = \frac{- 2}{3}$ . Chọn đáp án đúng:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án A:

$\lim (u_{n} - 2 v_{n}) = \frac{5}{3} - 2 (- \frac{2}{3})$

$= 3 \neq \frac{1}{3}$ nên A sai.

Đáp án B:

$\lim (2 u_{n} - v_{n}) = 2. \frac{5}{3} - (- \frac{2}{3}) = 4$

nên B đúng.

Đáp án C:

$\lim (u_{n} - v_{n}) = \frac{5}{3} - (- \frac{2}{3})$

$= \frac{7}{3} \neq 1$ nên C sai.

Đáp án D:

$\lim (u_{n} + v_{n}) = \frac{5}{3} + (- \frac{2}{3})$

$= 1 \neq \frac{1}{3}$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 17:

22/07/2024

Cho $u_{n} = \frac{1 - 4 n}{5 n}$ . Khi đó lim $u_{n}$ bằng?

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{- 4}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{- 1}{5}$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{1 - 4 n}{5 n}$

$= \lim \frac{\frac{1}{n} - 4}{5} = \frac{0 - 4}{5}$

$= - \frac{4}{5}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

22/07/2024

Cho $u_{n} = \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A. 0

B. $\frac{- 1}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{- 3}{4}$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}}$

$= \lim \frac{\frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{3}} - 4} = \frac{0 - 0}{0 - 4} = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

22/07/2024

Cho $u_{n} = \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A. $0$

B. $1$

C. $\frac{3}{5}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}}$

$= \lim \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} + 1}{1}$

$= \frac{0 + 1}{1} = 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 20:

18/07/2024

Giá trị $l i m (n^{3} - 2 n + 1)$ bằng

A. 0

B. 1

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có:

$n^{3} - 2 n + 1$

$= n^{3} (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

Vì $\lim n^{3} = + \infty$ và

$\lim (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

$= 1 - 0 + 0 = 1 > 0$

nên $\lim (n^{3} - 2 n + 1) = + \infty$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

22/07/2024

Giá trị $l i m (5 n - n^{2} + 1)$ bằng

A. +∞

B. −∞

C. 5

D. −1

Xem đáp án

Ta có :

$5 n - n^{2} + 1$

$= n^{2} (- 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}})$

Vì $\lim n^{2} = + \infty$ và $\lim (- 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = - 1 < 0$

nên $\lim (5 n - n^{2} + 1) = - \infty$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 22:

22/07/2024

Giới hạn $l i m (\sqrt{n^{2} - n} - n)$ bằng?

A. −∞.

B. $\frac{- 1}{2}$

C. 0.

D. +∞.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23:

22/07/2024

Giá trị của $B = l i m (\sqrt[3]{n^{3} + 9 n^{2}} - n)$ bằng:

A. +∞

B. −∞

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 24:

22/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ + 1. Khi đó $\lim (u_{n})$ bằng?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25:

22/07/2024

Giá trị $l i m \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)}$ bằng

A. −1.

B. 1.

C. +∞.

D. 0.

Xem đáp án

Ta có:

$|\frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)}| = \frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{n . n} = \frac{1}{n^{2}}$

mà $\lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ nên suy ra $\lim \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)} = 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 26:

23/07/2024

Giới hạn $l i m (\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1})$ bằng?

A. 0

B. $- \frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 27:

20/07/2024

Giới hạn $l i m \frac{2 n^{2} - n + 4}{\sqrt{2 n^{4} - n^{2} + 1}}$ bằng?

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 28:

21/07/2024

Cho các số thực a, b thỏa $|a| < 1; |b| < 1$ .

Tìm giới hạn $I = \lim \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$

A. +∞

B. $\frac{1 - a}{1 - b}$

C. $\frac{1 - b}{1 - a}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $1, a, a^{2}, ..., a^{n}$ là một cấp số nhân có công bội q = a

$\Rightarrow 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$

Tương tự:

$1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l i m I = l i m \frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} \\ = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} . \frac{1 - b}{1 - b^{n + 1}}) \\ = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}} . \frac{1 - b}{1 - a}) \\ = \frac{1 - b}{1 - a} \end{array}$

$(V ì |a| < 1, |b| < 1$

$\Rightarrow \lim a^{n + 1} = \lim b^{n + 1} = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 29:

22/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, (n \geq 1) \end{cases}$ . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Dãy $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty$

B. Dãy un là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty$

C. Không tồn tại giới hạn của dãy $(u_{n})$

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Xem đáp án

$\begin{array}{l} u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}} \\ u_{3} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4} = \frac{2^{2} + 1}{2^{2}} \\ u_{4} = \frac{\frac{5}{4} + 1}{2} = \frac{9}{8} = \frac{2^{3} + 1}{2^{3}} \end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp:

$u_{n + 1} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n}}, \forall n = 1, 2, ... (*);$

* Với $n = 1;$

$u_{2} = \frac{u_{1} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}} : (*)$ đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \geq 1$ , tức là $u_{k} = \frac{2^{k} + 1}{2^{k}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ ,

tức là cần chứng minh $u_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Ta có :

$\begin{array}{l} u_{k + 1} = \frac{u_{k} + 1}{2} \\ = \frac{\frac{2^{k} + 1}{2^{k}} + 1}{2} \\ = \frac{\frac{2^{k} + 1 + 2^{k}}{2^{k}}}{2} \\ = \frac{{2.2}^{k} + 1}{{2.2}^{k}} \\ = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}} \end{array}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy là:

$u_{n} = \frac{2^{n - 1} + 1}{2^{n - 1}}$

$= 1 + \frac{1}{2^{n - 1}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

Từ (*) ta có

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = 1 + \frac{1}{2^{n}} - (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) \\ = \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n - 1}} < 0 \forall n = 1, 2, .. \end{array}$

⇒ $(u_{n})$ là dãy giảm và $\lim u_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) = 1$

⇒ $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi n→+∞

Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

22/07/2024

Tính giới hạn của dãy số $u_{n} = q + 2 q^{2} + . . . + n q^{n}$ với $|q| < 1$

A. +∞

B. −∞

C. $\frac{q}{{(1 - q)}^{2}}$

D. $\frac{q}{{(1 + q)}^{2}}$

Xem đáp án

Ta có:

$u_{n} - q u_{n} = q + 2 q^{2} + \dots - q (q + 2 q^{2} + \dots n q^{n})$

$= q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n} - n q^{n + 1}$

Do $q, q^{2}, q^{3}, ..., q^{n}$ là cấp số nhân có công bội q nên:

$u_{n} - q u_{n}$

$= \frac{q . (1 - q^{n})}{1 - q} - n q^{n + 1}$ (1)

Mà: $u_{n} - q u_{n} = (1 - q) u_{n} (2)$

Từ (1); (2) suy ra:

$(1 - q) . u_{n}$

$= \frac{q . (1 - q^{n})}{1 - q} - n q^{n + 1}$

$= > u_{n} = q . \frac{1 - q^{n}}{{(1 - q)}^{2}} - \frac{n q^{n + 1}}{1 - q}$

Do $|q| < 1$ nên $\lim q^{n + 1} = 0;$

$\lim q^{n} = 0$

Suy ra

$\begin{array}{l} u_{n} \\ = \lim [\frac{q (1 - q^{n})}{{(1 - q)}^{2}} - \frac{n . q^{n + 1}}{1 - q}] \\ = \frac{q}{{(1 - q)}^{2}} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3