50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 24 bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (đề 5)

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. $\log a$ xác định khi $0 < a < 1$

B. $\ln a > 0 \Leftrightarrow a > 1$

C. $\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{\frac{1}{2}} b \Leftrightarrow a > b > 0$

D. $\log_{\frac{1}{5}} a = \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a = b > 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 2:

Có bao nhiêu cách chọn 5 quyển sách từ 20 quyển sách?

A. $C_{20}^{5}$

B. $P_{5}$

C. $A_{20}^{5}$

D. 5

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 3:

17/07/2024

Tập xác định của hàm số $y = \ln x$ là

A. $[0; + \infty)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(0; + \infty)$

D. $ℝ$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 4:

Một cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = - \frac{1}{2}$ , $d = \frac{1}{2}$ có dạng khai triển nào sau đây?

A. $- \frac{1}{2}; 0; 1; \frac{1}{2}; 1; ...$

B. $- \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 0; - \frac{1}{2} ...$

C. $\frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}; 2; \frac{5}{2}; ...$

D. $- \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}; ...$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; - 1; - 2)$ và $B (2; 2; 2)$ . Độ dài vectơ $\vec{A B}$ bằng

A. $\sqrt{29}$

B. 29

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 6:

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Góc giữa hai đường thẳng A'C' và BD bằng

A. $60 °$

B. 30 $°$

C. 45 $°$

D. 90 $°$

Xem đáp án

Ta có: $(\hat{A^{'} C^{'}; B D}) = (\hat{A C; B D}) = 90 °$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 3 = 0$ . Tâm của (S) có tọa độ là

A. $(1; - 1; 2)$

B. $(- 1; 1; - 2)$

C. $(- 2; 2; - 4)$

D. $(2; - 2; 4)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x) = 2 x^{4} - x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Đồ thị hàm số (C'): $y = f^{'} (x)$ với trục hoành có bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 8 x^{3} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{1}{2} \end{array}$

Đồ thị hàm số (C') : $y = f^{'} (x)$ với trục hoành có 3 điểm chung.

Câu 9:

Nếu $\log_{7} x = \log_{7} a b^{2} - \log_{7} a^{3} b$ $(a, b > 0)$ thì x nhận giá trị bằng

A. $a^{2} b$

B. $a b^{2}$

C. $a^{2} b^{2}$

D. $a^{- 2} b$

Xem đáp án

$\log_{7} x = \log_{7} a b^{2} - \log_{7} a^{3} b = \log_{7} \frac{a b^{2}}{a^{3} b} = \log_{7} \frac{b}{a^{2}} = \log_{7} a^{- 2} b$

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[- 2; 4]$ và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $2019 f (x) - 2020 = 0$ trên đoạn $[- 2; 4]$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Ta có $2019 f (x) - 2020 = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{2020}{2019}$

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng $y = \frac{2020}{2019}$ cắt đồ thị $y = f (x)$ tại 3 điểm phân biệt

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A B = a$ , $A D = 2 a$ , SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $2 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} a^{2} \sqrt{3} a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Câu 12:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{5 x - 3}{1 - x}$ với trục tung là

A. $(- 3; 0)$

B. $(\frac{3}{2}; 0)$

C. $(0; - 3)$

D. $(0; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 13:

Nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{5})}^{- x + 2} = 25$ là

A. $x = 0$

B. $x = - 4$

C. $x = 2$

D. $x = 4$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 14:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. -1

B. 1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f (x) + 1$ ?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Vẽ đồ thị y=f(x)+1 bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=f(x) lên trên 1 đơn vị.

Câu 16:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{2 x}$ ; $y = 0$ ; $x = 0$ ; $x = 2$ bằng

A. $2 e^{4} - e$

B. $\frac{e^{4}}{2} - e$

C. $\frac{e^{4}}{2} - 1$

D. $\frac{e^{4} - 1}{2}$

Xem đáp án

$S = \int_{0}^{2} e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{2} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} = \frac{e^{4} - 1}{2}$

Câu 17:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5^{x} + 1$ là

A. $5^{x} \ln x + x + C$

B. $5^{x} + x + C$

C. $\frac{5^{x}}{\ln 5} + x + C$

D. $5^{x} + x + C$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 18:

Cho các số phức $u = 2 - i$ , $w = 5 + 3 i$ . Tìm môđun của số phức $u - w$ .

A. $|u - w| = \sqrt{7}$

B. $|u - w| = 5$

C. $|u - w| = \sqrt{5}$

D. $|u - w| = \sqrt{51}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 19:

Biết hàm số y=f(x) thoả mãn các điều kiện $f^{'} (x) = 2 x + 3$ và $f (0) = 1$ . Giá trị f(2) là:

A. $f (2) = 11$

B. $f (2) = 8$

C. $f (2) = 10$

D. $f (2) = 7$

Xem đáp án

Ta có $f (x) = \int_{}^{} f^{'} (x) = x^{2} + 3 x + C$ . Mà $f (0) = 1$ nên $C = 1$ . Vậy $f (2) = 11$ .

Câu 20:

Cho số phức z thỏa mãn $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7)$ . Khi đó môđun của z là

A. $|z| = 5$

B. $|z| = \sqrt{3}$

C. $|z| = \sqrt{5}$

D. $|z| = 3$

Xem đáp án

Đặt $z = a + b i$ với $a, b \in ℝ$ . Khi đó $\bar{z} = a - b i$ .

Ta có: $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7) \Leftrightarrow a + b i + 4 (a - b i) = 7 + i (a + b i - 7)$

$\Leftrightarrow a + b i + 4 a - 4 b i = 7 + a i - b - 7 i \Leftrightarrow 5 a + b - (a + 3 b) i = 7 - 7 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a + b = 7 \\ a + 3 b = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

Do đó $z = 1 + 2 i$ . Vậy $|z| = \sqrt{5}$ .

Câu 21:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh $A B = 4 a$ . Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Thể tích của khối nón được tạo thành là

A. $\frac{64 π a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 π a^{2}}{3}$

C. $\frac{4 π a^{3}}{3}$

D. $\frac{4 π a^{2}}{3}$

Xem đáp án

Khối nón tạo thành có bán kính $A C = 4 a$ và chiều cao $A B = 4 a$ .

Thể tích khối nón cần tìm là $V = \frac{1}{3} π {(4 a)}^{2} .4 a = \frac{64 π a^{3}}{3}$ .

Câu 22:

16/07/2024

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[3]{{(1 - 3 x)}^{5}}$ là

A. $y^{'} = - 5 {(1 - 3 x)}^{\frac{4}{3}}$

B. $y^{'} = \frac{5}{3} {(1 - 3 x)}^{\frac{2}{3}}$

C. $y^{'} = \frac{5}{3} {(1 - 3 x)}^{\frac{4}{3}}$

D. $y^{'} = - 5 {(1 - 3 x)}^{\frac{2}{3}}$

Xem đáp án

Ta có $y = \sqrt[3]{{(1 - 3 x)}^{5}} = {(1 - 3 x)}^{\frac{5}{3}}$ . Ta suy ra $y^{'} = \frac{5}{3} {(1 - 3 x)}^{\frac{2}{3}} . {(1 - 3 x)}^{'} = - 5 {(1 - 3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

Câu 23:

12/07/2024

Phương trình $9^{x} - {3.3}^{x} + 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ . Giá trị biểu thức $A = 2 x_{1} + 3 x_{2}$ là

A. $4 \log_{3} 2$

B. 1

C. $3 \log_{3} 2$

D. $2 \log_{2} 3$

Xem đáp án

Ta có $9^{x} - {3.3}^{x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \log_{3} 2 \end{array}$ .

Do $0 < \log_{3} 2 \Rightarrow x_{1} = 0$ , $x_{2} = \log_{3} 2 \Rightarrow A = 2 x_{1} + 3 x_{2} = 2.0 + 3. \log_{3} 2 = 3 \log_{3} 2$ .

Câu 24:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_{0}$ , $f^{'} (x_{0}) = 0$ và $f (x)$ có đạo hàm cấp hai tại $x_{0}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $f^{''} (x_{0}) < 0$ thì $f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$

B. Nếu $f^{''} (x_{0}) > 0$ thì $f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$

C. Nếu $f^{''} (x_{0}) \neq 0$ thì $f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$

D. Nếu $f^{''} (x_{0}) = 0$ thì $f (x)$ không đạt cực đại tại $x_{0}$

Xem đáp án

Khẳng định D sai. Ví dụ hàm số $f (x) = x^{4} \Rightarrow f^{'} (x) = 4 x^{3}$ ; $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ và qua x=0 thì $f^{'} (x)$ đổi dấu nên là điểm cực trị của hàm số. Mặt khác $f^{''} (0) = 0$ .

Câu 25:

Phương trình $\log |x^{2} - 3| = 0$ có bao nhiêu nghiệm dương?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $\log |x^{2} - 3| = 0 \Leftrightarrow |x^{2} - 3| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 3 = 1 \\ x^{2} - 3 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$

Câu 26:

Một vật chuyển động với vận tốc $v (t) = 3 t^{2} + 4 (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 10 là?

A. 945m

B. 994m

C. 471m

D. 1001m

Xem đáp án

Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 10 là

$S = \int_{3}^{10} (3 t^{2} + 4) d t = (t^{3} + 4 t) |\begin{array}{l} 10 \\ 3 \end{array} = 1001 m$ .

Câu 27:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = - x^{3} + 2 (2 m - 1) x^{2} - (m^{2} - 8) x + 2$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 1$ là

A. $m = - 9$

B. $m = 1$

C. $m = - 2$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = - x^{3} + 2 (2 m - 1) x^{2} - (m^{2} - 8) x + 2$ .

Ta có $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 (2 m - 1) x - m^{2} + 8$ ; $f^{''} (x) = - 6 x + 4 (2 m - 1)$ .

Để x= -1 là điểm cực tiểu của hàm số thì $f^{'} (- 1) = 0$

$f^{'} (- 1) = 0 \Leftrightarrow m^{2} + 8 m - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 9 \end{array}$

Với $m = 1$ ta có $f^{''} (- 1) > 0$ .

Với $m = - 9$ ta có $f^{''} (- 1) < 0$ .

Vậy $x = - 1$ là điểm cực tiểu của hàm số $f (x) = - x^{3} + 2 (2 m - 1) x^{2} - (m^{2} - 8) x + 2$ khi và chỉ khi $m = 1$ .

Câu 28:

21/07/2024

Tìm nguyên hàm $F (x) = \int_{}^{} \sin^{2} 2 x d x$

A. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \cos 4 x + C$

B. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x$

D. $F (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int_{}^{} \sin^{2} 2 x d x = \int_{}^{} \frac{1 - \cos 4 x}{2} d x = \frac{1}{2} \int_{}^{} 1 d x - \frac{1}{2} \int_{}^{} \cos 4 x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

Câu 29:

Cho tứ diện ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AB và BC, N là điểm thuộc đoạn CD sao cho $C N = 2 N D$ . Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng $(K L N)$ . Tính tỉ số $\frac{P A}{P D}$ .

A. $\frac{P A}{P D} = \frac{1}{2}$

B. $\frac{P A}{P D} = \frac{2}{3}$

C. $\frac{P A}{P D} = \frac{3}{2}$

D. $\frac{P A}{P D} = 2$

Xem đáp án

Giả sử $L N \cap B D = 1$ . Nối K với I cắt AD tại P.

Suy ra $(K L N) \cap A D = P$ .

Ta có $K L / / A C \Rightarrow A C / / (K L N P)$

Ta có $\{\begin{cases} A C \subset (A C D) \\ (A C D) \cap (K L N P) = P N \end{cases} \Rightarrow P N = A C$

Khi đó: $\frac{P A}{P D} = \frac{N C}{N D} = 2$

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 2)$ ; $B (2; - 2; 1)$ ; $C (- 2; 0; 1)$ và mặt phẳng (P): $2 x + 2 y + z - 3 = 0$ . Gọi $M (a; b; c)$ là điểm thuộc (P) sao cho $M A = M B = M C$ .

Giá trị của $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ bằng

A. 39

B. 63

C. 62

D. 38

Xem đáp án

Ta có $M (x; y; 3 - 2 x - 2 y) \in (P)$ .

$\{\begin{cases} M A^{2} = M B^{2} \\ M B^{2} = M C^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} \\ {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x - 6 y - 2 z = 4 \\ - 8 x + 4 y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x - 2 y = 10 \\ - 8 x + 4 y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} \Rightarrow M (2; 3; - 7)$

Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 62$ .

Câu 31:

Bất phương trình $2 \log_{3} (4 x - 3) + \log_{\frac{1}{9}} {(2 x + 3)}^{2} \leq 2$ có nghiệm là

A. $x > \frac{3}{4}$

B. $- \frac{3}{8} \leq x \leq 3$

C. $\frac{3}{4} < x \leq 3$

D. $- \frac{3}{8} < x < 3$

Xem đáp án

Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$ .

Ta có $2 \log_{3} (4 x - 3) + \log_{\frac{1}{9}} {(2 x + 3)}^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 2 \log_{3} (4 x - 3) + \log_{3^{- 2}} {(2 x + 3)}^{2} \leq 2$

$\Leftrightarrow \log_{3} {(4 x - 3)}^{2} - \log_{3} (2 x + 3) \leq 2 \Leftrightarrow \log_{3} \frac{{(4 x - 3)}^{2}}{2 x + 3} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{{(4 x - 3)}^{2}}{2 x + 3} \leq 9$

Do $2 x + 3 > 0$ nên $\frac{{(4 x - 3)}^{2}}{2 x + 3} \leq 9 \Leftrightarrow 16 x^{2} - 24 x + 9 \leq 9 (2 x + 3) \Leftrightarrow - \frac{3}{8} \leq x \leq 3$

Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{3}{4} < x \leq 3$ .

Câu 32:

Gọi $z_{1}$ , $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ . Tính $M = z_{1}^{100} + z_{2}^{100}$ .

A. $M = - 2^{51}$

B. $M = 2^{51}$

C. $M = 2^{51} i$

D. $M = 2^{50}$

Xem đáp án

Ta có $z^{2} - 2 z + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 1 + i \\ z_{2} = 1 - i \end{array}$

Suy ra $M = z_{1}^{100} + z_{2}^{100} = {(1 + i)}^{100} + {(1 - i)}^{100} = {({(1 + i)}^{2})}^{50} + {({(1 - i)}^{2})}^{50} = {(2 i)}^{50} + {(- 2 i)}^{50} = {2.2}^{50} . {(i^{2})}^{25} = - 2^{51}$ .

Câu 33:

12/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $\sqrt{3} a$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a$ . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{\sqrt{5} a}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3} a}{2}$

C. $\frac{\sqrt{6} a}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3} a}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow \{\begin{cases} (S A B) ⊥ (S B C) \\ (S A B) \cap (S B C) = S B \end{cases}$

Trong mặt phẳng (SAB): Kẻ $A H ⊥ S B \Rightarrow A H = d (A, (S B C))$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow d (A, (S B C)) = A H = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $z - (2 + 3 i) \bar{z} = 1 - 9 i$ . Số phức $w = \frac{5}{i z}$ có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở hình bên?

A. Điểm D

B. Điểm C

C. Điểm B.

D. Điểm A

Xem đáp án

Gọi $(a, b \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Ta có $z - (2 + 3 i) \bar{z} = 1 - 9 i \Leftrightarrow a + b i - (2 + 3 i) (a - b i) = 1 - 9 i \Leftrightarrow a + b i - 2 a + 2 b i - 3 a i - 3 b = 1 - 9 i$

$\Leftrightarrow - a - 3 b - 3 a i + 3 b i = 1 - 9 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a - 3 b = 1 \\ - 3 a + 3 b = - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow z = 2 - i$

Số phức $w = \frac{5}{i z} = \frac{5}{i (2 - i)} = 1 - 2 i$ .

Câu 35:

Trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $|i . z - 2 i - 1| = 3$ là

A. đường tròn có tâm $I (- 2; 1)$ , bán kính $R = 9$ .

B. đường tròn có tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $R = 3$ .

C. đường tròn có tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $R = 9$ .

D. đường tròn có tâm $I (- 2; 1)$ , bán kính $R = 3$ .

Xem đáp án

Ta có $|i . z - 2 i - 1| = 3 \Leftrightarrow |i . (x + y i) - 2 i - 1| = 3 \Leftrightarrow |x i - y - 2 i - 1| = 3 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $|i . z - 2 i - 1| = 3$ là đường tròn có tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $R = 3$ .

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : $x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và mặt phẳng(P) : $2 x - y - 4 = 0$ . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm H của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

A. $H (1; 0; 1)$

B. $H (- 2; 0; - 2)$

C. $H (2; 0; 2)$

D. $H (- 1; 0; - 1)$

Xem đáp án

Tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của tâm $I = (0; 1; 2)$ của mặt cầu $(S)$ lên mặt phẳng (P) .

Do đó vectơ pháp tuyến $\vec{n} (2; - 1; 0)$ của mặt phẳng (P) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH.

Suy ra phương trình đường thẳng IH là $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \end{cases}$

Vì H là giao điểm của đường thẳng IH và mặt phẳng (P) nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \\ 2 x - y - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \end{cases} \Rightarrow H = (2; 0; 2)$

Câu 37:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $2 m y = x^{2}$ , $2 m x = y^{2}$ , $(m > 0)$ . Giá trị của m để $S = 3$ là

A. $m = \frac{3}{2}$

B. $m = 2$

C. $m = 3$

D. $m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} 2 m y = x^{2} \Leftrightarrow y = \frac{x^{2}}{2 m} > 0 \\ y^{2} = 2 m x \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \sqrt{2 m x} > 0 \\ y = - \sqrt{2 m x} < 0 \end{cases} \end{cases}$

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x^{2}}{2 m} = \sqrt{2 m x} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 m \end{array}$

$\Rightarrow S = \int_{0}^{2 m} |\frac{x^{2}}{2 m} - \sqrt{2 m x}| d x = \frac{4 m^{2}}{3} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$

Câu 38:

Một cơ sở sản xuất có 2 bồn chứa nước hình trụ có chiều cao bằng nhau và bằng h(m), bán kính đáy lần lượt là 2 (m) và 2,5 (m). Chủ cơ sở dự tính làm bồn chứa nước mới, hình trụ, có chiều cao $h_{1} = 1, 5 h (m)$ và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bồn nước đã có sẵn. Bán kính đáy của bồn nước mà cơ sở dự tính làm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 2,8m

B. 2,2m

C. 2,4m

D. 2,6m.

Xem đáp án

Gọi $V_{1}$ , $V_{2}$ , V lần lượt là thể tích của hai bồn nước có bán kính 2m; 2,5m của bồn chứa mới.

Theo bài ra ta có $V = V_{1} + V_{2} \Leftrightarrow 1, 5 h . π . R^{2} = h . π {.2}^{2} + h . π .2, 5^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = \frac{41}{6} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{41}{6}} \approx 2, 6 (m)$ .

Câu 39:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4^{x} - 2^{x + 1} + m = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt là

A. $m \in (- \infty; 1)$

B. $m \in (0; + \infty)$

C. $m \in (0; 1]$

D. $m \in (0; 1)$

Xem đáp án

Đặt $2^{x} = t$ , $t > 0$ . Khi đó $4^{x} - 2^{x + 1} + m = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + m = 0 \Leftrightarrow - t^{2} + 2 t = m$

Xét hàm số $f (t) = - t^{2} + 2 t$ với $t > 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = - 2 t + 2$ ; $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt khi $m \in (- \infty; 1)$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABC cỏ đáy là tam giác đều cạnh $a = 4 \sqrt{2}$ cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và $S C = 2$ cm. Gọi M, N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM bằng

A. 30 $°$

B. 60 $°$

C. 45 $°$

D. 90 $°$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của BM, ta có $N I / / C M$ nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI.

Xét tam giác SNI có

$S N = \sqrt{S C^{2} + C N^{2}} = \sqrt{4 + 8} = 2 \sqrt{3}$ ; $N I = \frac{1}{2} C M = \frac{1}{2} 4 \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$ ;

$C I = \sqrt{C M^{2} + M I^{2}} = \sqrt{24 + 2} = \sqrt{26} \Rightarrow S I = \sqrt{S C^{2} + C I^{2}} = \sqrt{4 + 26} = \sqrt{30}$

Vậy $\cos \hat{S N I} = \frac{S N^{2} + N I^{2} - S I^{2}}{2 S N . N I} = \frac{12 + 6 - 30}{2.2 \sqrt{3} . \sqrt{6}} = \frac{- 12}{3 \sqrt{2} .4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{S N I} = 135 °$

Vậy góc giữa SN và CM bằng 45°.

Câu 41:

Cho hàm số $y = |x^{2} + 2 x + a - 4|$ . Giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 2; 1]$ đạt giá trị nhỏ nhất là

A. $a = 3$

B. $a = 2$

C. $a = 1$

D. $a = 0$

Xem đáp án

Ta có $y = |x^{2} + 2 x + a - 4| = |{(x + 1)}^{2} + a - 5|$ . Đặt $u = {(x + 1)}^{2}$ khi đó $\forall x \in [- 2; 1]$ thì $u \in [0; 4]$ .

Khi đó $\max_{x \in [- 2; 1]} y = \max_{u \in [0; 4]} f (u) = \max \{f (0), f (4)\} = \max \{|a - 5|; |a - 1|\}$ .

+ Trường hợp 1: $|a - 5| \geq |a - 1| \Leftrightarrow a \leq 3 \Rightarrow \max_{u \in [0; 4]} f (u) = 5 - a \geq 2 \Leftrightarrow a = 3$

+ Trường hợp 2: $|a - 5| \leq |a - 1| \Leftrightarrow a \geq 3 \Rightarrow \max_{u \in [0; 4]} f (u) = a - 1 \geq 2 \Leftrightarrow a = 3$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\max_{x \in [- 2; 1]} y = 2 \Leftrightarrow a = 3$ .

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy ABCD trùng với trung điểm AB. Biết $A B = a$ , $B C = 2 a$ , $B D = a \sqrt{10}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và đáy là 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?

A. 0,80a.

B. 0,85a.

C. 0,95a

D. 0.98a

Xem đáp án

Kẻ $H K ⊥ B D \Rightarrow B D ⊥ (S H K) \Rightarrow \hat{S K H} = 60 °$

$H C = a \sqrt{5}$ ; $A D = 3 a$ ; $H K = \frac{1}{2} d (A, B D) = \frac{1}{2} . \frac{A B . A D}{B D} = \frac{3 a}{2 \sqrt{10}}$

$S H = H K . \tan 60 ° = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}}$

Kẻ $H I ⊥ S K \Rightarrow H I ⊥ (S B D) \Rightarrow d (A, (S B D)) = 2 H I$ .

Ta có $\frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} + \frac{1}{S H^{2}} \Rightarrow H I = \frac{3 a \sqrt{3}}{4 \sqrt{10}}$

Câu 43:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ là

A. 3

B. 5

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = f^{'} (x^{2} - 2 x) = (2 x - 2) f^{'} (x^{2} - 2 x)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 2 x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x = 0 \\ x^{2} - 2 x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Câu 44:

Hệ số lớn nhất của biểu thức $P (x) = (1 + x) {(1 + 2 x)}^{17}$ sau khi khai triển và rút gọn là

A. 25346048.

B. 2785130

C. 5570260.

D. 50692096.

Xem đáp án

Khi đó $P (x) = (x + 1) {(1 + 2 x)}^{17} = (1 + x) \sum_{k = 0}^{17} C_{17}^{k} 2^{k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{17} C_{17}^{k} 2^{k} x^{k} + \sum_{k = 0}^{17} C_{17}^{k} 2^{k} x^{k + 1}$

Suy ra hệ số của $x^{k}$ trong khai triển là $C_{17}^{k} 2^{k} + C_{17}^{k - 1} 2^{k - 1}$

Hệ số của $x^{k}$ lớn nhất khi $\{\begin{cases} C_{17}^{k} 2^{k} + C_{17}^{k - 1} 2^{k - 1} \geq C_{17}^{k + 1} 2^{k + 1} + C_{17}^{k} 2^{k} \\ C_{17}^{k} 2^{k} + C_{17}^{k - 1} 2^{k - 1} \geq C_{17}^{k - 1} 2^{k - 1} + C_{17}^{k - 2} 2^{k - 2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{17}^{k - 1} 2^{k - 1} \geq C_{17}^{k + 1} 2^{k + 1} \\ C_{17}^{k} 2^{k} \geq C_{17}^{k - 2} 2^{k - 2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{(k - 1)! . (18 - k)!} \geq \frac{2^{2}}{(k + 1)! . (16 - k)!} \\ \frac{2^{2}}{k! . (17 - k)!} \geq \frac{1}{(k - 2)! . (19 - k)!} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{(18 - k) (17 - k)} \geq \frac{4}{k (k + 1)} \\ \frac{4}{(k - 1) k} \geq \frac{1}{(18 - k) (19 - k)} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 k^{2} - 141 k + 1224 \leq 0 \\ 3 k^{2} - 147 k + 1368 \geq 0 \end{cases} \to_{}^{k \in ℕ^{*}} k = 12$

Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là $C_{17}^{12} 2^{12} = C_{17}^{11} 2^{11} = 50692096$

Câu 45:

Biết rằng hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = - \frac{7}{2}$ , $\int_{0}^{2} f (x) d x = - 2$ và $\int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{13}{2}$ (với a, b, ). Giá trị của biểu thức $P = a + b + c$ là

A. $P = - \frac{3}{4}$

B. $P = - \frac{4}{3}$

C. $P = \frac{4}{3}$

D. $P = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{d} f (x) d x = (\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x) |\begin{array}{l} d \\ 0 \end{array} = \frac{a}{3} d^{3} + \frac{b}{2} d^{2} + c d$

Do đó $\{\begin{cases} \int_{0}^{1} f (x) d x = - \frac{7}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - \frac{7}{2} \\ \int_{0}^{2} f (x) d x = - 2 \Leftrightarrow \frac{8}{3} a + 2 b + 2 c = - 2 \\ \int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{13}{2} \Leftrightarrow 9 a + \frac{9}{2} b + 3 c = \frac{13}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = - \frac{16}{3} \end{cases}$

Vậy $P = a + b + c = - \frac{4}{3}$ .

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (2; 1; 1)$ ; mặt phẳng $(α)$ : $x + y + z - 4 = 0$ và mặt cầu $(S)$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 6 y - 8 z + 18 = 0$ . Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua M và nằm trong $(α)$ cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$

B. $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm $I (3; 3; 4)$ và có bán kính $R = 4$ .

$I M = \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} + {(4 - 1)}^{2}} = \sqrt{14} < R \Rightarrow$ M nằm trong mặt cầu (S).

Để cắt mặt cầu theo một đoạn thẳng có độ dài thì khoảng cách từ I đến $Δ$ lớn nhất. Khi đó $I M ⊥ Δ$ .

Gọi vectơ chỉ phương của $Δ$ là $\vec{u}$ ta có $\{\begin{cases} Δ \subset (α) \\ Δ ⊥ M I \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{u} ⊥ \vec{n_{α}} \\ \vec{u} ⊥ \vec{M I} \end{cases} \Rightarrow \vec{u} = [\vec{n_{α}}, \vec{M I}] = (1; - 2; 1)$

Đường thẳng $Δ$ qua $M (2; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 2; 1)$ là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Câu 47:

21/07/2024

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^{3} + 2 i {|z|}^{2} = 0$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 6

Xem đáp án

Ta có: $z^{3} + 2 i {|z|}^{2} = 0 (1) \Leftrightarrow z^{3} = - 2 i {|z|}^{2}$ .

Lấy môđun hai vế ta được $|z^{3}| = |- 2 i {|z|}^{2}| \Leftrightarrow {|z|}^{3} = 2 {|z|}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |z| = 0 \\ |z| = 2 \end{array}$ . Thay vào (1) ta được $[\begin{array}{l} z^{3} = 0 \\ z^{3} + 8 i = 0 \end{array}$

+ Trường hợp 1: $|z| = 0$ , ta có $z^{3} = 0 \Leftrightarrow z = 0$ .

+ Trường hợp 2: $|z| = 2$ , ta có $z^{3} + 8 i = 0 \Leftrightarrow (z - 2 i) (z^{2} + 2 i z - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 2 i \\ z = \sqrt{3} - i \\ z = - \sqrt{3} - i \end{array}$ .

Câu 48:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a. Bên trong hình nón người ta đặt một khối cầu và một hình trụ sao cho hình trụ có một đáy nằm trên đáy của hình nón và một đáy tiếp xúc với các đường sinh của hình nón; còn hình cầu tiếp xúc với một mặt của hình trụ và các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Bán kính của mặt đáy hình trụ thỏa mãn tổng thể tích của khối cầu và khối trụ đạt giá trị lớn nhất là

A. $R = \frac{3 a}{23}$

B. $R = \frac{9 a}{23}$

C. $R = \frac{a}{3}$

D. $R = \frac{3 a \sqrt{3}}{23}$

Xem đáp án

Gọi bán kính của mặt đáy hình trụ là x.

Bán kính khối cầu là $r = \frac{x \sqrt{3}}{3} \Rightarrow V_{c} = \frac{4 \sqrt{3}}{27} π x^{3}$

Chiều cao khối trụ là $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a - \sqrt{3} x$

$\Rightarrow V_{T} = π x^{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} a - \sqrt{3} x) = \sqrt{3} π (\frac{a x^{2}}{2} - x^{3}) \Rightarrow V = V_{C} + V_{T} = \sqrt{3} π (\frac{a x^{2}}{2} - \frac{23 x^{3}}{27})$

Xét hàm số $y = \frac{a x^{2}}{2} - \frac{23 x^{3}}{27}$ trên $(0; \frac{a}{2})$ ta có $V_{\max} = \frac{27 π \sqrt{3}}{1058} a^{3}$ khi $x = \frac{9 a}{23}$ .

Câu 49:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 1)}^{2} (x^{2} - 2 x)$ với $\forall x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $f (x^{2} - 8 x + m)$ có 5 điểm cực trị?

A. 15

B. 17

C. 16

D. 18

Xem đáp án

Đặt $g (x) = f (x^{2} - 8 x + m)$

$f^{'} (x) = {(x - 1)}^{2} (x^{2} - 2 x) \Rightarrow g^{'} (x) = (2 x - 8) {(x^{2} - 8 x + m - 1)}^{2} (x^{2} - 8 x + m) (x^{2} - 8 x + m - 2)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x^{2} - 8 x + m - 1 = 0 (1) \\ x^{2} - 8 x + m = 0 (2) \\ x^{2} - 8 x + m - 2 = 0 (3) \end{array}$

Các phương trình (1) ,(2) , (3) không có nghiệm chung từng đôi một và ${(x^{2} - 8 x + m - 1)}^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ$ .

Suy ra g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{2} = 16 - m > 0 \\ Δ_{3} = 16 - m + 2 > 0 \\ 16 - 32 + m \neq 0 \\ 16 - 32 + m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 16 \\ m < 18 \\ m \neq 16 \\ m \neq 18 \end{cases} \Leftrightarrow m < 16$

Vì m nguyên dương và $m < 16$ nên có 15 giá trị m cần tìm.

Câu 50: