Khi mất đi 3 mặt nhỏ lại bù vào đủ 3 mặt có cùng diện tích nên diện tích xung quanh không đổi và bằng S.

Ta có: $z=z_1^2+z_2={\left(2-3i\right)}^2+\left(5+2i\right)=4-12i+9i^2+5+2i=-10i$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(1;+\infty \right).$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-1;0\right)$  và $\left(0;1\right).$

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+2+0}{3}=1\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-3+0+9}{3}=2\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{5+1+3}{3}=3\end{array}\right.\Rightarrow G\left(1;2;3\right)$

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^{4x}+1\right)dx=\frac{1}{4}\int e^{4x}d\left(4x\right)+\int dx=\frac{1}{4}{e}^{4x}+x+C$

Tập xác định D=R

$y\text{'}=3x^2-6x-9$. Cho $y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(5;+\infty \right)$

Điểm $M\in d\Rightarrow M\left(-1+2t;t;2+t\right),$ A là trung điểm của $MN\Rightarrow N\left(3-2t;-2-t;2-t\right)$

Điểm $N\in \left(P\right)\Rightarrow 3-2t-2-t-2\left(2-t\right)+5=0\iff t=2\Rightarrow M(3;2;4),N(-1;-4;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(-4;-6;-4\right)=-2\left(2;3;2\right)$

Áp dụng công thức $V=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{\left(a^2+b^2-c^2\right).\left(a^2-b^2+c^2\right).\left(b^2+c^2-a^2\right)}$

Với $a=SA=5,b=SB=6,c=SC=4\Rightarrow V=\frac{15\sqrt{6}}{4}$

Ta có $y\text{'}=x^2-4\left(m-1\right)x+m+2$

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta \text{'}=4{\left(m-1\right)}^2-\left(m+2\right)=4m^2-9m+2\le 0\iff \frac{1}{4}\le m\le 2\end{array}\right.$

Ta có $y\text{'}=e^x\left(x^2+x-6\right)\Rightarrow y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\in \left(1;3\right)\\ x=-3\notin \left(1;3\right)\end{array}\right.$

$y\left(1\right)=-5e;y=-3e^2;y\left(3\right)=e^3.$ Vậy giá trị lớn nhất là $\underset{\text{[}1;3]}{\max }y=y\left(3\right)=e^3$