50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 24 bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (đề 3)

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

$A . (- 2; 2)$

$B . (0; 2)$

$C . (- 1; 1)$

$D . (1; 2)$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 2:

Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

$A . \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

$B . {(a^{m})}^{n} = a^{m^{n}}$

$C . {(a^{m})}^{n} = a^{m + n}$

$D . \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 3:

Phần ảo của số phức $z = 2 - 3 i$ là:

A. 3

B. -3

C. 3i

D. -3i

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 4:

15/07/2024

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng:

A. 3

B. 0

C. 2

D. Không tồn tại $\max_{[1; 2]} f (x)$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 5:

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là $3 a^{2}$ và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng

A. $6 a^{3}$

B. ${2a}^{3}$

C. 3 $a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 6:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y=f(x). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -6.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x= -6

C. Hàm số đạt cực đại tại x=2

D. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 7:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{81} \sqrt[3]{a}$ bằng

A. $\frac{3}{4} \log_{3} a$

B. $\frac{1}{12} \log_{3} a$

C. $\frac{4}{3} \log_{3} a$

D. $\frac{1}{27} \log_{3} a$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 8:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(α) : x + y + z - 6 = 0$ . Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $(α)$ ?

A. $Q (3; 3; 0)$

B. $N (2; 2; 2)$

C. $P (1; 2; 3)$

D. $M (1; - 1; 1)$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S)$ .

A. $I (- 1; 2; 1)$ và $R = 3$

B. $I (1; - 2; - 1)$ và $R = 3$

C. $I (- 1; 2; 1)$ và $R = 9$

D. $I (1; - 2; - 1)$ và $R = 9$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành, đường thẳng $x = a$ và đường thẳng $x = b$ là

A. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

B. $S = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

D. $S = π \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 11:

17/07/2024

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 3

B. 0

C. $- \frac{3}{2}$

D. $- \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 12:

Cho hàm số $y = a^{x}$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của a bằng

A. 2

B. $\log_{2} 3$

C. $\sqrt{3}$

D. $\log_{3} 2$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $(2; 3)$ , suy ra $3 = a^{2} \Leftrightarrow a = \sqrt{3}$ (vì $a > 0$ ).

Câu 13:

Cho $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . e^{\sin x} d x$ . Nếu đặt $t = \sin x$ thì:

A. $I = - \int_{0}^{1} e^{t} d t$

B. $I = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{t} d x$

C. $I = \int_{0}^{1} e^{t} d t$

D. $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{t} d x$

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$ . Đổi cận: $x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1; x = 0 \Rightarrow t = 0$ . Vậy $\int_{0}^{1} e^{t} d t$ .

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; 1; - 3), B (4; 2; 1)$ . Véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

A. $\vec{u_{1}} = (- 2; - 1; 4)$

B. $\vec{u_{2}} = (2; 1; 4)$

C. $\vec{u_{3}} = (- 2; 1; - 4)$

D. $\vec{u_{4}} = (- 2; 1; 4)$

Xem đáp án

$\vec{A B} = (2; 1; 4)$ , nên một véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $\vec{u_{2}} = (2; 1; 4)$ .

Câu 15:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 - 5 x}{4 x + 7}$ là

A. $y = - \frac{5}{4}$

B. $x = \frac{3}{5}$

C. $y = - \frac{3}{4}$

D. $x = - \frac{7}{4}$

Xem đáp án

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 5 x}{4 x + 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - 5}{4 + \frac{7}{x}} = - \frac{5}{4} \Rightarrow y = - \frac{5}{4}$

Câu 16:

Xác định diện tích toàn phần hình trụ có chiều cao h=4 và bán kính đáy r=2.

A. 16 $π$

B. 20 $π$

C. 24 $π$

D. 8 $π$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 17:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

A. $C_{7}^{2}$

B. $2^{7}$

C. $7^{2}$

D. $A_{7}^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 18:

16/07/2024

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 3$ và công sai $d = 2$ . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng

A. 4 080 399

B. 4 800 399

C. 4 399 080

D. 8 154 741

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 19:

Cho hàm số bậc bốn $y = f (x)$ có đồ thị như trong hình bên. Số nghiệm phân biệt của phương trình $|f (x)| = 2$ là

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Số nghiệm của phương trình $|f (x)| = 2$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ và đường thẳng $y = 2$ . Đồ thị của hàm số $y = |f (x)|$ và đường thẳng $y = 2$ như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị giao nhau tại 5 điểm.

Vậy phương trình $|f (x)| = 2$ có 5 nghiệm phân biệt.

Câu 20:

Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A. $y = \ln |x|$

B. $y = \frac{1}{e^{x}}$

C. $y = x^{\frac{1}{3}}$

D. $y = 2^{\frac{1}{x}}$

Xem đáp án

Đáp án A, tập xác định $ℝ \ \{0\}$ , loại.

Đáp án B, tập xác định $D = ℝ$ , thỏa mãn.

Đáp án C, tập xác định $D = (0; + \infty)$ , loại.

Đáp án D, tập xác định $D = ℝ \ \{0\}$ , loại.

Câu 21:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

A. $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

B. $y = \frac{1}{x - 1}$

C. $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$

D. $y = \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x - 1}}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 22:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x^{2} - 1 + y i = - 1 + 2 i$ . Giá trị của $2 x + y$ là

A. 5

B. 4

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} - 1 + y i = - 1 + 2 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 1 = - 1 \\ y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$ . Suy ra 2x+y=2 .

Câu 23:

Biết rằng $\log_{3} 4 = a$ và $T = \log_{12} 18$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $T = \frac{a + 2}{2 a + 2}$

B. $T = \frac{a + 4}{2 a + 2}$

C. $T = \frac{\sqrt{a} + 2}{a + 1}$

D. $T = \frac{\sqrt{a} - 2}{a + 1}$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{3} 4 = a = 2 \log_{3} 2 \Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{a}{2} \Rightarrow \log_{2} 3 = \frac{a}{2}$ .

$T = \log_{12} 18 = \frac{\log_{2} 18}{\log_{2} 12} = \frac{\log_{2} 2 + \log_{2} 9}{\log_{2} 4 + \log_{2} 3} = \frac{1 + 2 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3} = \frac{1 + 2. \frac{2}{a}}{2 + \frac{2}{a}} = \frac{a + 4}{2 a + a}$ .

Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức $\log_{3} 4$ , SHIFT, RCL (-) để lưu biến A là $\log_{3} 4$ . Sau đó thử từng đáp án.

Câu 24:

Biết hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ bằng

A. -8

B. 10

C. 8

D. -10

Xem đáp án

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x \Rightarrow y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x + 6$ .

Áp dụng định lí Vi-ét vào phương trình $- 3 x^{2} + 6 x + 6 = 0$ , ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 2^{2} + 2. (- 2) = 8$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = \cos 4 x$ có một nguyên hàm $F (x)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = 1$

B. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = \frac{1}{4}$

C. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = - 1$

D. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = \frac{- 1}{4}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int \cos 4 x d x = \frac{1}{4} \sin 4 x + C \Rightarrow F (\frac{π}{8}) - F (0) = \frac{1}{4} \sin 4 \frac{π}{8} - \frac{1}{4} \sin 0 = \frac{1}{4}$ .

Câu 26:

16/07/2024

Số nghiệm dương của phương trình $\ln |x^{2} - 5| = 0$ là:

A. 1

B. 4

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Ta có phương trình: $\ln |x^{2} - 5| = 0 \Leftrightarrow |x^{2} - 5| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 5 = 1 \\ x^{2} - 5 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{6} \\ x = \pm 2 \end{array}$ .

Câu 27:

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức $z_{1} = 1 + i$ và $z_{2} = 3 - 5 i$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó M là điểm biểu diễn cho số phức nào dưới đây?

A. $- i$

B. $1 - i$

C. $2 - 2 i$

D. $1 + i$

Xem đáp án

$z_{1} = 1 + i \Rightarrow A (1; 1), z_{2} = 3 - 5 i \Rightarrow B (3; - 5)$ nên tọa độ trung điểm M của AB là $M (2; - 2)$ .

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức $2 - 2 i$ .

Câu 28:

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng

A. $- \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x$

B. $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$

C. $- \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$

D. $\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x$

Xem đáp án

Ta có $f (x) \geq 0$ trên đoạn $[a; b]$ và $f (x) \leq 0$ trên đoạn $[b; c]$ . Vậy diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình là $S = \int_{a}^{c} |f (x)| d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x$ .

Câu 29:

Biết đường thẳng $y = x - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt $x_{A}, x_{B}$ . Khi đó giá trị của $x_{A} + x_{B}$ bằng

A. 3

B. 5

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là: $D = ℝ \ \{1\}$ .

Hoành độ hai điểm A, B là nghiệm của phương trình: $x - 2 = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ (1). Điều kiện $x \neq 1$ .

Ta có (1) $\Leftrightarrow (x - 2) (x - 1) = 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 1 = 0$ (2). Nhận thấy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Theo định lí Vi-ét ta có: $x_{A} + x_{B} = 5$ .

Câu 30:

Số phức z thỏa mãn $z = 2 \bar{z} + 1 + 3 i$ . Phần thực của z bằng

A. -1

B. 2

C. -3

D. 1

Xem đáp án

$a + b i = 2 (a - b i) + 1 + 3 i \Leftrightarrow a - 2 a - 1 + (b + 2 b - 3) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a - 1 = 0 \\ 3 b - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 1 \end{cases}$

Câu 31:

Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức $S = A . e^{n r}$ , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm, năm 2017, dân số Việt Nam là 93 671 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản thống kê Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

A. 108311100

B. 109256100

C. 107500500

D. 108374700

Xem đáp án

Từ năm 2017 đến năm 2035, số năm là $n = 2035 - 2017 = 18$ .

Dân số Việt Nam năm 2035 là $S = 93671600. e^{18.0, 0081} \approx 108374700$ (người).

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; - 1), B (2; - 1; 3), C (- 3; 5; 1)$ . Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là

A. $D (- 4; 8; - 5)$

B. $D (- 2; 2; 5)$

C. $D (- 4; 8; - 3)$

D. $D (- 2; 8; - 3)$

Xem đáp án

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 - x_{D} = 1 \\ 5 - y_{D} = - 3 \\ 1 - z_{D} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} = - 4 \\ y_{D} = 8 \\ z_{D} = - 3 \end{cases}$ .

Câu 33:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ , biết $u_{2017} = 1, u_{2020} = 1000$ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng

A. $\frac{10^{10} - 1}{{9.10}^{2016}}$

B. $\frac{9^{10} - 1}{{8.9}^{2016}}$

C. $\frac{1 - 10^{10}}{{9.10}^{2016}}$

D. $\frac{10^{10} - 1}{{9.10}^{2019}}$

Xem đáp án

Ta có: $\frac{u_{2020}}{u_{2017}} = \frac{u_{1} q^{2019}}{u_{1} q^{2016}} = q^{3} \Leftrightarrow q^{3} = 1000 \Leftrightarrow q = 10; u_{2017} = u_{1} q^{2016} \Leftrightarrow 1 = u_{1} {.10}^{2016} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{10^{2016}}$ .

Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: $S_{10} = \frac{u_{1} (1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{10^{2016}} (1 - 10^{10})}{1 - 10} = \frac{10^{10} - 1}{{9.10}^{2016}}$ .

Câu 34:

18/07/2024

Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hình lăng trụ có 4 mặt đối xứng gồm:

3 mặt là mặt phẳng chứa một cạnh bên và hai trung điểm của 2 cạnh đáy không chung đỉnh với cạnh bên đó.

Mặt phẳng chứa trung điểm của 3 cạnh bên của hình lăng trụ.

Câu 35:

15/07/2024

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, $A C = 2 a$ , SA vuông góc với đáy, $S A = a$ , I là trung điểm của SB. Thể tích của khối chóp S.ACI bằng

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Xem đáp án

Ta có $\frac{V_{S . A C I}}{V_{S . A B C}} = \frac{S I}{S B} = \frac{1}{2}$ . Suy ra $V_{S . A C I} = \frac{1}{2} V_{S . A B C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . a . \frac{1}{2} . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C), S A = 2 a$ , tam giác ABC vuông tại B, $A B = a \sqrt{3}$ và $B C = a$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. $90 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC nên $\hat{(S C, (A B C))} = \hat{S C A}$ .

Mà $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a$ nên $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = 1$ .

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng $45 °$ .

Câu 37:

Trong không gian, cho tam giác vuông ABC cân tại A, cạnh $B C = 4 a$ . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI bằng

A. $16 π a^{2}$

B. $12 π a^{2}$

C. $4 \sqrt{2} π a^{2}$

D. $8 \sqrt{2} π a^{2}$

Xem đáp án

Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh $B C = 4 a$ suy ra $A I = B I = C I = 2 a$ .

Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AI là diện tích xung quanh của hình nón có đường cao AI, bán kính đáy $R = B I = 2 a$ .

Đường sinh $A B = 2 \sqrt{2} a$ , suy ra $S_{x q} = π R l = 4 \sqrt{2} π a^{2}$ .

Câu 38:

Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 4 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 3}$ . Biết Δ đi qua điểm $M (0; 1; 3)$ , phương trình đường thẳng Δ là

A. $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$

B. $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$

C. $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 3}{1}$

D. $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 3}{1}$

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; - 1; - 1)$ và đường thẳng d có véctơ chỉ phương là $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 3)$ .

Vì $\{\begin{cases} Δ \subset (P) \\ Δ ⊥ d \end{cases}$ nên đường thẳng d có 1 véctơ chỉ phương là: $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}; \vec{u_{d}}] = (5; 5; 5) = 5 (1; 1; 1)$ .

Mà $M (0; 1; 3) \in Δ \Rightarrow (Δ) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ .

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số cực trị của hàm số $y = f (|x|)$ là

A. 5

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Khi $x \geq 0$ thì $f (|x|) = f (x)$ nên bảng biến thiên của $y = f (x)$ trên $[0; + \infty)$ cũng chính là bảng biến thiên của $y = f (|x|)$ trên $[0; + \infty)$ . Do đồ thị $y = f (|x|)$ nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên của $y = f (|x|)$ trên R như sau:

Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Câu 40:

Biết $\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} d x = a + \ln \frac{b}{c}$ với $a, b, c \in ℕ^{*}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Giá trị $a - b + c$ bằng

A. 2

B. 0

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đặt $t = e^{x} + 1 \Rightarrow d t = e^{x} d x$ . Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = \ln 2 \Rightarrow t = 3 \end{cases}$ .

Khi đó a có $\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} d x = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} . e^{x} d x = \int_{2}^{3} \frac{t - 1}{t} d t = \int_{2}^{3} (1 - \frac{1}{t}) d t = {(t - \ln t)|}_{2}^{3} = 1 - \ln 3 + \ln 2 = 1 + \ln \frac{2}{3}$ .

Câu 41:

14/07/2024

Xét các số phức z thỏa mãn $(z + 2 i) (\bar{z} + 2)$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. $(1; - 1)$

B. $(- 1; - 1)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(1; 1)$

Xem đáp án

Ta có $(z + 2 i) (\bar{z} + 2) = z . \bar{z} + 2 z + 2 i \bar{z} + 4 i = (x + y i) (x - y i) + 2 (x + y i) + 2 i (x - y i) + 4 i$

$= (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y) + 2 i (x + y + 2)$ .

Vì $(z + 2 i) (\bar{z} + 2)$ là số thuần ảo nên $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ .

Câu 42:

Tập nghiệm của bất phương trình $9^{x + 1} - {13.6}^{x} + 4^{x + 1} < 0$ là

A. $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có: $9^{x + 1} - {13.6}^{x} + 4^{x + 1} < 0 \Leftrightarrow {9.9}^{x} - {13.6}^{x} + {4.4}^{x} < 0$

$\Leftrightarrow 9 \frac{9^{x}}{4^{x}} - 13 \frac{6^{x}}{4^{x}} + 4 < 0$ , ( vì $4^{x} > 0, \forall x \in ℝ$ ) $\Leftrightarrow 9 {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 13 {(\frac{3}{2})}^{x} + 4 < 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{9} < {(\frac{3}{2})}^{x} < 1 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$ .

Câu 43:

18/07/2024

Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón $(H_{1}), (H_{2})$ xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là $r_{1}, h_{1}, r_{2}, h_{2}$ thỏa mãn $r_{1} = \frac{1}{2} r_{2}, h_{1} = \frac{1}{2} h_{2}$ (như hình vẽ). Biết thể tích toàn phần của toàn bộ khối pha lê là $100 c m^{3}$ . Thể tích của khối $(H_{1})$ bằng

A. $\frac{100}{3} c m^{3}$

B. $25 c m^{3}$

C. $\frac{100}{9} c m^{3}$

D. $50 c m^{3}$

Xem đáp án

Thể tích toàn bộ khối pha lê là

$V = V_{(H_{1})} + V_{(H_{2})} = \frac{1}{3} π {(r_{1})}^{2} . (h_{1}) + \frac{1}{3} π {(2 r_{1})}^{2} . (2 h_{1}) = 9 V_{(H_{1})} = 100 (c m^{3}) \Rightarrow V_{(H_{1})} = \frac{100}{9} (c m^{3})$

Câu 44:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ với $0 \leq x \leq 4$ , trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình D bằng

A. $8 π - \frac{16}{3}$

B. $2 π - \frac{16}{3}$

C. $4 π + \frac{16}{3}$

D. $4 π - \frac{16}{3}$

Xem đáp án

Diện tích hình phẳng D là

$S = \int_{0}^{4} (\sqrt{16 - x^{2}} - (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x)) d x = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x - \int_{0}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x) d x$ .

Xét $I = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$ . Đặt $x = 4 \sin t \Rightarrow d x = 4 \cos t d t$ . Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 4 \Rightarrow t = \frac{π}{2} \end{cases}$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} t} .4 \cos t d t = 16 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t = {8 (t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = 8 \frac{π}{2} = 4 π$ .

Xét $J = \int_{0}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x) d x = {(\frac{- x^{3}}{6} + x^{2})|}_{0}^{4} = \frac{16}{3}$ . Vậy $S = 4 π - \frac{16}{3}$ .

Câu 45:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Giá trị của $M + 2 N$ bằng

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Hàm số xác định trên $[0; 4]$ . Ta có: $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1} = \sqrt{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$ .

Xét hàm số $g (x) = (x + 1) {(x - 3)}^{2}$ trên đoạn $[0; 4]$ ta có: $g^{'} (x) = {(x - 3)}^{2} + (x + 1) .2 (x - 3) = (x - 3) (3 x - 1)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \in [0; 4] \\ x = \frac{1}{3} \in [0; 4] \end{array}$ . Ta có: $g (0) = 9, g (\frac{1}{3}) = \frac{256}{27}, g (3) = 0, f (4) = 5$ .

Vậy $\{\begin{cases} M = \max_{[0; 4]} f (x) = \sqrt{g (\frac{1}{3})} = \frac{16 \sqrt{3}}{9} \\ N = \min_{[0; 4]} f (x) = \sqrt{g (0)} = 0 \end{cases} \Rightarrow M + 2 N = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

Câu 46:

Trong Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y + z - 4 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{3}$ . Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 1}{3}$

B. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3}$

C. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến $\vec{n_{P}} = (1; 2; 1)$ . Đường thẳng d có véctơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (2; 1; 3)$ .

Vì $\vec{n} . \vec{u} = 7 \neq 0$ nên đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.

Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + 2 y + z - 4 = 0 \\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{cases} \Rightarrow H (1; 1; 1)$ .

Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phương $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}; \vec{u_{d}}] = (5; - 1; - 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng Δ là $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ .

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng $(S A B), (S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có $A D = 2 A B = 2 B C = 2 a, S A = A C$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{15}}{5}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{10}}{5}$

Xem đáp án

Theo bài ra có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C$ , lại có $S A = A C$ nên $S A = A C = a \sqrt{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A \equiv O$ ; tia $O x \equiv A B$ ; tia $O y \equiv A D$ ; tia $O z \equiv A S$ . Khi đó $B (a; 0; 0)$ , $C (a; a; 0)$ , $D (0; 2 a; 0)$ , $S (0; 0; a \sqrt{2})$ , $A (0; 0; 0)$ .

Phương trình đường thẳng CD: $\{\begin{cases} x = a - t \\ y = a + t \\ z = 0 \end{cases}$ .

Phương trình đường thẳng SB: $\{\begin{cases} x = a + t^{'} \\ y = 0 \\ z = - \sqrt{2} t^{'} \end{cases}$ .

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của SB và CD với $M \in C D, N \in SB$ .

Ta có $M (a - t; a + t; 0), N (a + t^{'}; 0; - \sqrt{2} t^{'}) \Rightarrow \vec{M N} = (t + t^{'}; - a - t; - \sqrt{2} t^{'})$ .

Do $M N ⊥ C D, MN ⊥ SB$ nên có $\{\begin{cases} \vec{M N} . \vec{C D} = 0 \\ \vec{M N} . \vec{S B} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - t^{'} - t - a - t = 0 \\ t^{'} + t + 2 t^{'} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 t + t^{'} = - a \\ t + 3 t^{'} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - \frac{3 a}{5} \\ t^{'} = \frac{a}{5} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{M N} = (- \frac{2 a}{5}; - \frac{2 a}{5}; - \frac{\sqrt{2} a}{5}) \Rightarrow M N = \sqrt{{(- \frac{2 a}{5})}^{2} + {(- \frac{2 a}{5})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{2} a}{5})}^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{5}$ .

Câu 48:

17/07/2024

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 78$ , hệ số của $x^{4}$ trong khai triển biểu thức ${(x^{2} - x + 2)}^{n}$ bằng bao nhiêu?

A. 532224

B. 534248

C. 464640

D. $- 463616$

Xem đáp án

Ta có $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 78 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 1)!} + \frac{n!}{2! (n - 2)!} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{n (n - 1)}{2} = 78 \Rightarrow n = 12$ .

Xét khai triển ${(x^{2} - x + 2)}^{12} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {(x^{2} - x)}^{k} {.2}^{12 - k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {.2}^{12 - k} (\sum_{j = 0}^{k} C_{k}^{j} x^{2 j} {(- x)}^{k - j})$

$= \sum_{k = 0}^{12} \sum_{j = 0}^{k} C_{12}^{k} C_{k}^{j} {(- 1)}^{k - j} 2^{12 - k} x^{j + k}$ .

Xét $j + k = 4 (0 \leq j \leq k) \Rightarrow \{\begin{cases} j = 0; k = 4 \\ j = 1; k = 3 \\ j = 2; k = 2 \end{cases}$ .

Vậy hệ số của là $C_{12}^{4} . C_{4}^{0} {(- 1)}^{4} {.2}^{8} + C_{12}^{3} . C_{3}^{1} {(- 1)}^{2} {.2}^{9} + C_{12}^{2} . C_{2}^{2} {(- 1)}^{0} {.2}^{10} = 532224$ .

Câu 49:

18/07/2024

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- m\}$ . Ta có $y^{'} = \frac{m^{2} - 4}{{(x + m)}^{2}}$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} < 0, \forall x \neq - m \\ - m \notin (0; + \infty) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 < 0 \\ - m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 < m < 2 \\ m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m < 2$ . Mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{0; 1\}$

Câu 50: