Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ biết đường conic gồm đường parabol, đường elip, đường hypebol và cách xác định phương trình chính tắc của mỗi loại đường conic trên.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta thấy tổng MF_1­ + MF­₂ luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi M thay đổi, tổng MF₁ + MF₂ là một độ dài không đổi.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({A_1}{F_1} = \sqrt {{{\left( {\left( { - c} \right) - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \left| { - c + a} \right|\) = a – c (do a > c > 0).

\({A_1}F{ & _2} = \sqrt {{{\left( {c - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \left| {a + c} \right|\) = a + c

Do đó: A₁F₁ + A₂F₂ = a – c + a + c = 2a.

Vậy điểm A₁(– a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁(– a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Vì \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \) nên \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Ta có: \({B_2}{F_1} = \sqrt {{{\left( { - c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).

\({B_2}{F_2} = \sqrt {{{\left( {c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).

Do đó B₂F₁ = B₂F₂ = a nên B₂F­₁ + B₂F₂ = a + a = 2a. Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E).

Mà B₂(0; b) thuộc trung Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được B₁(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Hướng dẫn giải

Elip (E) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).

Do elip (E) đi qua điểm M(0; 3) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {3^2} \Rightarrow b = 3\) (do b > 0).

Do elip (E) đi qua điểm \(N\left( {3; - \frac{{12}}{5}} \right)\) nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có \(\frac{{{3^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( { - \frac{{12}}{5}} \right)}^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 25 \Rightarrow a = 5\) (do a > 0).

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Hướng dẫn giải

Khi M thay đổi, ta có hiệu

MF₁ – MF₂ = (MF₁ + MA) – (MF₂ + MA) = AB – l không đổi.

Vậy hiệu MF₁ – MF₂ không thay đổi khi M thay đổi.

Hướng dẫn giải

Vì Oy là đường trung trực của F₁F₂ nên O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó, OF­₁ = OF₂ = F₁F₂ : 2 = 2c : 2 = c.

Điểm F₁ thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F₁ là F₁(– c; 0).

Điểm F₂ thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F₂ là F₂(c; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x² – 9y² = 1

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{9}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}} = 1\).

Phương trình hypebol đã cho được viết dưới dạng phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (Vì các tổng này đều có độ dài bằng đoạn dây AB).

Do đó, MA = MF.

Mà MA vuông góc với ∆ tại A nên MA là khoảng cách từ M đến ∆.

Vậy khi M thay đổi khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

Đọc kĩ hoạt động và thực hiện nghiên cứu lời giải theo hướng dẫn trên.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x = \frac{{{y^2}}}{4} \Leftrightarrow {y^2} = 4x \Leftrightarrow {y^2} = 2\,.\,2x\).

Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y² = 2 . 2x với p = 2.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > b > 0.

Elip (E) cắt trục Ox tại A₁(– 5; 0), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = {\left( { - 5} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = {5^2}\), suy ra a = 5 (do a > 0).

Elip (E) cắt trục Oy tại \({B_2}\left( {0;\,\sqrt {10} } \right)\), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Rightarrow b = \sqrt {10} \) (do b > 0).

Vì 5 > \(\sqrt {10} \) nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}} = 1\,\,hay\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip trên có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > b > 0.

Ta có Oy là đường trung trực của A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A­₂ nên OA₂ = \(\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}\)\( = \frac{{768\,\,800}}{2} = 384\,\,400\).

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A₂(384 800; 0).

Elip (E) cắt trục Ox tại A₂(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{384\,{{800}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 384\,{800^2} \Rightarrow a = 384\,800\) (do a > 0).

Lại có Ox là đường trung trực của B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B­₂ nên OB₂ = \(\frac{{{B_1}{B_2}}}{2}\)\( = \frac{{767\,\,619}}{2} = 338\,309,5\).

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B₂(0; 338309,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{338309,5}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {338309,5^2} \Rightarrow b = 338309,5\) (do b > 0).

Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{384800}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{338309,5}^2}}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0.

Do đó, ta loại ngay đáp án a.

Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0 với:

b) a = b = 3 > 0.

c) a = 3 > 0, b = 8 > 0.

d) a = 8 > 0, b = 3 > 0.

Lời giải

Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\).

Do đó hypebol trên có a = 3, b = 4 (do a > 0, b > 0).

Ta có: c² = a² + b² = 3² + 4² = 25 = 5², suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).

*Phương pháp giải:

phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$

*Lý thuyết:

Dựa vào các dữ kiện đã cho của đề bài để xác định các yếu tố:

• Hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) với c² = a² + b².

• Tiêu cự: 2c.

• Giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

• Độ dài trục thực 2a, độ dài trục ảo 2b.

…

Từ các yếu tố ta tìm được a, b rồi suy ra phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$

Xem thêm

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Suy ra a² = 36, b² = 25.

Ta có: c² = a² + b² = 36 + 25 = 61, suy ra \(c = \sqrt {61} \).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(–\(\sqrt {61} \); 0) và F₂(\(\sqrt {61} \); 0)

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của hypebol (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0.

Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3, do đó tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là (3; 0). Thay tọa độ này vào phương trình hypebol, ta được:

\(\frac{{{3^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = {3^2} \Rightarrow a = 3\) (do a > 0).

Điểm \(N\left( {\sqrt {10} ;\,\,2} \right)\) nằm trên (H) nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình (H), khi đó ta có: \(\frac{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 36 \Leftrightarrow {b^2} = {6^2} \Rightarrow b = 6\)(do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1\,\,\,hay\,\,\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Ta có: y² = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.

Hướng dẫn giải:

Ta có: y² = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.

Hướng dẫn giải:

Phương trình x² = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({y^2} = \sqrt 5 x = 2.\frac{{\sqrt 5 }}{2}x\), vì \(\frac{{\sqrt 5 }}{2} > 0\) nên đây là phương trình chính tắc của parabol với \(p = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \({y^2} = \frac{5}{2}x = 2.\frac{5}{4}x\).

Do đó parabol trên có p = \(\frac{5}{4}\) (thỏa mãn p > 0).

Ta có: \(\frac{p}{2} = \frac{{\frac{5}{4}}}{2} = \frac{5}{8}\).

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là \(F\left( {\frac{5}{8};0} \right)\) và phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{5}{8} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({y^2} = 2\sqrt 2 x = 2.\,\sqrt 2 .x\).

Do đó parabol trên có p = \(\sqrt 2 \) (thỏa mãn p > 0).

Ta có: \(\frac{p}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là \(F\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Tiêu điểm của parabol là F(6; 0).

Do đó, \(\frac{p}{2} = 6 \Leftrightarrow p = 12\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y² = 2 . 12 x hay y² = 24x.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Vì AB = 40 và Ox là đường trung trực của đoạn AB nên khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là \(\frac{{40}}{2} = 20\).

Chiều sâu h bằng khoảng cách từ O đến AB và cũng chính bằng khoảng cách từ điểm A đến trục Oy và bằng 30.

Do đó, parabol đi qua điểm A có hoành độ là 30 (khoảng cách từ A đến trục Oy) và tung độ là 20 (khoảng cách từ A đến trục Ox) hay A(30; 20).

Thay tọa độ điểm A vào phương trình chính tắc của parabol, ta được:

20² = 2p . 30 ⇔ 60p = 400 ⇔ p = \(\frac{{20}}{3}\) (thỏa mãn p > 0).

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần lập là \({y^2} = 2.\frac{{20}}{3}.x\,\,hay\,\,{y^2} = \frac{{40}}{3}x\).