Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có A ∈ AM.

Suy ra tọa độ A(1 + 3t; –2 – 7t).

Lại có A ∈ AH.

Suy ra 2(1 + 3t) + 5(–2 – 7t) + 66 = 0.

Do đó –29t + 58 = 0.

Vì vậy –29t = –58.

Khi đó t = 2.

Suy ra tọa độ A(7; –16).

Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{7 + 4}}{2} = \frac{{11}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 16 - 3}}{2} = - \frac{{19}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó tọa độ \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Đường trung trực d của cạnh AB đi qua điểm \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Suy ra phương trình d: \( - 3\left( {x - \frac{{11}}{2}} \right) + 13\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0\).

⇔ 3x – 13y – 140 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chọn A(0; 1) ∈ ∆.

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng ∆ nhận \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(0; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình tham số của ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)

Ta có M ∈ ∆. Suy ra M(t; 1 – t).

Ta có \(\overrightarrow {NM} = \left( {t + 1; - 2 - t} \right)\).

Suy ra \(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \).

Theo đề, ta có MN = 5.

⇔ (t + 1)² + (–2 – t)² = 25.

⇔ t² + 2t + 1 + 4 + 4t + t² = 25.

⇔ 2t² + 6t – 20 = 0.

⇔ t = 2 hoặc t = –5.

Với t = 2, ta có tọa độ M(2; –1).

Với t = –5, ta có tọa độ M(–5; 6).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thế tọa độ điểm M(4; 5) vào phương trình ∆, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 - 3t\\5 = 1 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{2}{3}\\t = 2\end{array} \right.\)

Suy ra M(4; 5) ∉ ∆.

Gọi H là hình chiếu của M lên ∆.

Ta có H ∈ ∆. Suy ra tọa độ H(2 – 3t; 1 + 2t).

Ta có \(\overrightarrow {MH} = \left( { - 2 - 3t; - 4 + 2t} \right)\).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MH} \bot \vec u\).

Suy ra \(\overrightarrow {MH} .\vec u = 0\).

Khi đó (–2 – 3t).(–3) + (–4 + 2t).2 = 0.

Vì vậy 13t – 2 = 0.

Suy ra \(t = \frac{2}{{13}}\).

Do đó tọa độ \(H\left( {\frac{{20}}{{13}};\frac{{17}}{{13}}} \right)\).

Vậy hoành độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng ∆ là: \(\frac{{20}}{{13}} \approx 1,538\).

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có H ∈ d. Suy ra H(–5 + 2t; 9 – 5t).

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {HA} = \left( { - 2t + 3;5t - 8} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {HB} = \left( { - 2t + 8;5t - 4} \right)\). Suy ra \(2\overrightarrow {HB} = \left( { - 4t + 16;10t - 8} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} = \left( {2t - 13; - 5t} \right)\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 5t} \right)}^2}} = \sqrt {29{t^2} - 52t + 169} \)

\( = \sqrt {29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right]} \)

Ta có \({\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)^2} + \frac{{4225}}{{841}} \ge \frac{{4225}}{{841}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right] \ge 29.\frac{{4225}}{{841}} = \frac{{4225}}{{29}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\[ \Leftrightarrow \sqrt {29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right]} \ge \sqrt {\frac{{4225}}{{29}}} = \frac{{65\sqrt {29} }}{{29}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}\].

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t = \frac{{26}}{{29}}\).

Với \(t = \frac{{26}}{{29}}\), ta có \(H\left( { - \frac{{93}}{{29}};\frac{{131}}{{29}}} \right)\).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{65\sqrt {29} }}{{29}}\] khi \(H\left( { - \frac{{93}}{{29}};\frac{{131}}{{29}}} \right)\).

Vậy ta chọn phương án A.