Câu hỏi:
21/07/2024 97
B1(0; – b) và B2(0; b), ở đó \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Vì \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \) nên \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).
Ta có: \({B_2}{F_1} = \sqrt {{{\left( { - c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).
\({B_2}{F_2} = \sqrt {{{\left( {c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).
Do đó B2F1 = B2F2 = a nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a. Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E).
Mà B2(0; b) thuộc trung Oy nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được B1(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Hướng dẫn giải:
Vì \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \) nên \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).
Ta có: \({B_2}{F_1} = \sqrt {{{\left( { - c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).
\({B_2}{F_2} = \sqrt {{{\left( {c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\) (do a > 0).
Do đó B2F1 = B2F2 = a nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a. Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E).
Mà B2(0; b) thuộc trung Oy nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được B1(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho Elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).
Câu 2:
Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\);
Câu 3:
B. Bài tập
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
Câu 4:
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
a) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
b) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
c) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\);
d) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
a) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
b) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
c) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\);
d) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Câu 5:
Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tọa độ hai giao điểm của (E) với Ox và Oy lần lượt là A1(– 5; 0) và B2(0; \(\sqrt {10} \)).
Câu 7:
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
y2 = – 2x;
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
y2 = – 2x;
Câu 8:
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết \(N\left( {\sqrt {10} ;\,\,2} \right)\) nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.
Câu 9:
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: 4x2 – 9y2 = 1.
Câu 10:
Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c (với a > c > 0).
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F1F2, trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F1(– c; 0) và F2(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) A1(– a; 0) và A2(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
Câu 11:
Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0; 3) và \(N\left( {3;\, - \frac{{12}}{5}} \right)\).
Câu 12:
Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là F(6; 0).
Câu 13:
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Câu 14:
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.
Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F1F2, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F1F2 (Hình 54).
Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F1, F2.
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.
Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F1F2, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F1F2 (Hình 54).
Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F1, F2.
Câu 15:
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A1A2 = 768 800 km và B1B2 = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A1A2 = 768 800 km và B1B2 = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
