Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE

Giải Chuyên đề Toán 11 Cánh diều Bài 1: Phép dời hình

Bài 13 trang 25 Chuyên đề Toán 11: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.

a) Xác định ảnh của các điểm D và C quay phép quay tâm A với góc quay φ = 60°.

b) Chứng minh rằng DC = BE.

c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.

Lời giải:

a) + Vì tam giác ABD đều nên AD = AB và $\widehat{DAB}=60°$.

Phép quay với góc quay φ = 60° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, ảnh của điểm D phép quay tâm A với góc quay φ = 60° là điểm B.

+ Vì tam giác ACE đều nên AC = AE và $\widehat{CAE}=60°$ .

Do đó, ảnh của điểm C phép quay tâm A với góc quay φ = 60° là điểm E.

b) Theo câu a) ta có B và E lần lượt là ảnh của D và C qua phép quay tâm A với góc quay φ = 60°, suy ra DC = BE (phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì).

c) Gọi O là giao điểm của DC và BE, I là giao điểm của AB và DC.

Ta có phép quay tâm A với góc quay φ = 60° biến góc ADC thành góc ABE nên $\widehat{ADC}=\widehat{ABE}$  hay $\widehat{ADI}=\widehat{IBO}$.

Mà $\widehat{AID}=\widehat{BIO}$(2 góc đối đỉnh), $\widehat{ADI}+\widehat{AID}+\widehat{DAI}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác ADI) và $\widehat{IBO}+\widehat{BIO}+\widehat{IOB}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác IBO).

Từ đó suy ra $\widehat{DAI}=\widehat{IOB}$ hay $\widehat{DOB}=\widehat{DAB}=60°$. 

Như vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.