Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng: Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB

Giải Chuyên đề Toán 11 Cánh diều Bài 1: Phép dời hình

Hoạt động 16 trang 21 Chuyên đề Toán lớp 11: Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:

a) Đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$;

b) Đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép đối xứng trục Ox;

c) Đoạn thẳng A₃B₃ là ảnh của đoạn thẳng A₂B₂ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 90°;

d) So sánh độ dài các đoạn thẳng AB, A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃.

Lời giải:

a) Lấy điểm M, sao cho M(5; 0). Khi đó $\overrightarrow{OM}=\left(5;0\right)=\overrightarrow{u}$.

Lấy các điểm A₁ và B₁ sao cho $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{OM}$và $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{OM}$ . Khi đó $\overrightarrow{{\text{AA}}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{u}$ nên A₁, B₁ lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$. Vậy đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$.

b) Từ A₁, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, trên đường thẳng này lấy A₂ khác phía với A₁ đối với Ox sao cho khoảng cách từ A₁ đến Ox bằng khoảng cách từ A₂ tới Ox. Khi đó Ox là đường trung trực của đoạn thẳng A₁A₂.

Tương tự, dựng B₂ sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng B₁B₂.

Khi đó ta có phép đối xứng trục Ox biến các điểm A₁, B₁ tương ứng thành các điểm A₂, B₂. Vậy đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép đối xứng trục Ox.

c) Phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với O­A₂, trên đường thẳng này lấy điểm A₃ sao cho OA₂ = OA₃ và góc quay từ A₂ đến A₃ theo chiều kim đồng hồ. Khi đó A₃ là ảnh của điểm A₂ qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Tương tự, xác định được điểm B₃ là ảnh của điểm B₂ qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Vậy đoạn thẳng A₃B₃ là ảnh của đoạn thẳng A₂B₂ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 90°.

d) Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên AB = A₁B₁.

Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên A₁B₁ = A₂B₂.

Vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên A₂B₂ = A₃B₃.

Do đó, AB = A₁B₁ = A₂B₂ = A₃B₃.