Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 6 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60^o. Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Lời giải:

a) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

$\Rightarrow$ AH là hình chiếu của SA lên (ABC)

$\Rightarrow \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\widehat{SAH}=60°$

Gọi E là trung điểm của BC

$\Rightarrow AE=AC.\sin ACB=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Lại có H là trọng tâm của tam giác đều ABC

$\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có tam giác SAH vuông tại H nên:

$SA=\frac{AH}{\cos SAH}=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{1}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Lại có:

$SA\perp \left(DBC\right)\left(gt\right)\Rightarrow SA\perp DE$

Khi đó tam giác DEA vuông tại D

$\Rightarrow$ AD = AE . cosDAE

= $\frac{a\sqrt{3}}{2}.cos60°=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Khi đó: SD = SA – AD

= $\frac{2a\sqrt{3}}{3}-\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA} \\ =\frac{5a\sqrt{3}}{12}:\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{8} \end{gathered}$$

b) Tam giác SAH vuông tại H nên:

$$\begin{gathered} SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2} \\ =\sqrt{\frac{4}{3}{a}^2-\frac{1}{3}{a}^2}=a \end{gathered}$$

Diện tích tam giác ABC là:

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin 60° \\ =\frac{1}{2}a.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$$\begin{gathered} V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC} \\ =\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12} \end{gathered}$$

Do đó thể tích khối chóp S.DBC là:

$$\begin{gathered} V_{S.DBC}=\frac{5}{8}.V_{S.ABC} \\ =\frac{5}{8}.\frac{a^3\sqrt{3}}{12}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{96} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 26 Toán 12 Hình học: Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào...

Bài 2 trang 26 Toán 12 Hình học: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện...

Bài 3 trang 26 Toán 12 Hình học: Thế nào là một khối đa diện lồi...

Bài 4 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB,...

Bài 7 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a,...

Bài 8 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

Bài 9 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD...

Bài 10 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a...

Bài 11 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 12 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 2 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 3 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 4 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 5 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

Bài 7 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD...

Bài 8 trang 28 Toán 12 Hình học: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a...

Bài 9 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 10 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC...