Cho hình lăng trụ đứng tam giác

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 10 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

Lời giải:

a)

Ta chia khối lăng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’

Ta có: V_A’.ABC = V_{C.A’B’C’} = $\frac{1}{3}Sh$ trong đó S là diện tích đáy,

S = S_ABC = S_A’B’C’ và h là chiều cao của hình lăng trụ.

Lại có: V_{ABC.A’B’C’} = S.h

Do đó:

$V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh$

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên 

$S=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên

h = AA’ = BB’= CC’ = a.

Vậy thể tích khối chóp C.A’BB’ là:

$V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Do đó thể tích khối tứ diện A’BB’C là

$V_{A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}C}=V_{C.A^{\text{'}}B{B}^{\text{'}}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b)

 

Thể tích hình chóp C.A′B′FE bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- V₁ là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác CEF.

- V₂ là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác A′EC.

Do (ABC) // (A′B′C′) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: 

EF = $\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}a$

Hình chóp B′.CEF có chiều cao BB′ = a và diện tích đáy là: 

S_CEF = $\frac{1}{2}$EF.CG

$=\frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$

 (với G là trọng tâm tam giác ABC)

Từ đây ta có: $V_1=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{9}=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}$

Do EC = $\frac{2}{3}$AC $=\frac{2}{3}a$

Nên  

$$\begin{gathered} S_{A^{\text{'}}EC}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}A.EC \\ =\frac{1}{2}a.\frac{2}{3}a=\frac{a^2}{3} \end{gathered}$$

Gọi I là trung điểm của A′C′ ta có: 

$\left.\begin{array}{l}{B}^{\text{'}}I\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ B^{\text{'}}I\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow B^{\text{'}}I\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$

$\Rightarrow B^{\text{'}}I\perp \left(A^{\text{'}}EC\right)$

Hình chóp B′.A′EC có chiều cao là B′I bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên:

$$\begin{gathered} V_2=\frac{1}{3}.\text{}{B}^{\text{'}}I.S_{A^{\text{'}}EC} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{18} \end{gathered}$$

Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE là

$V=V_1+V_2=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}+\frac{a^3\sqrt{3}}{18}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{54}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 26 Toán 12 Hình học: Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào...

Bài 2 trang 26 Toán 12 Hình học: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện...

Bài 3 trang 26 Toán 12 Hình học: Thế nào là một khối đa diện lồi...

Bài 4 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB,...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

Bài 7 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a,...

Bài 8 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

Bài 9 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD...

Bài 11 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 12 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 2 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 3 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 4 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 5 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

Bài 7 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD...

Bài 8 trang 28 Toán 12 Hình học: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a...

Bài 9 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 10 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC...