Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 9 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60^o. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Lời giải:

Gọi H là giao hai đường chéo AC và BD, H là tâm hình vuông ABCD

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SH\perp \left(ABCD\right)$.

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}BD\perp AC\left(hvABCD\right)\\ BD\perp SH\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$

$\Rightarrow EF\perp \left(SAC\right)$

Mà $AM\subset \left(SAC\right)$ nên $AM\perp EF$

Gọi I là giao điểm của AM và EF.

Ta có: AC = BD = $\sqrt{a^2+a^2}$ = $a\sqrt{2}$

$\Rightarrow HD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Lại có:  

$$\begin{gathered} EI=FI=\frac{2}{3}HD \\ =\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$

Góc tạo bởi cạnh bên SC và đáy (ABCD) là góc giữa SC và CH  và là $\widehat{SCH}=60°$ (do CH là hình chiếu của SC lên đáy (ABCD)).

Vì SA = SC (do hình chóp tứ giác đều S.ABCD) và $\widehat{SCA}=\widehat{SCH}=60°$ nên tam giác SAC đều có cạnh là AC$=a\sqrt{2}$.

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$;

$SM=\frac{SC}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $AM\perp EF$ nên

Lại có SM nằm trong (SAC) và $EF\perp \left(SAC\right)$ nên $SM\perp EF$ 

Mà SAC là tam giác đều nên

Do đó: $SM\perp \left(AEMF\right)$

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S.AEMF

Vậy thể tích khối chóp S.AEMF là:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{SMS}}_{\mathrm{AEMF}} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 26 Toán 12 Hình học: Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào...

Bài 2 trang 26 Toán 12 Hình học: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện...

Bài 3 trang 26 Toán 12 Hình học: Thế nào là một khối đa diện lồi...

Bài 4 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB,...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

Bài 7 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a,...

Bài 8 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

Bài 10 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a...

Bài 11 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 12 trang 27 Toán 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 2 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 3 trang 27 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...

Bài 4 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 5 trang 28 Toán 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

Bài 7 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD...

Bài 8 trang 28 Toán 12 Hình học: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a...

Bài 9 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 10 trang 28 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC...