Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

Với giải bài tập 12 trang 27 sgk Toán lớp 12 Hình học được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

1 655 16/03/2022

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 12 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại.

Tính tỉ số $\frac{V_{(H)}}{V_{(H^{'})}}$ .

Lời giải:

Gọi M’ là hình chiếu của M lên mp(ABCD). Khi đó MM’ = AA’ = a.

Ta có:

$S_{A B C D} = S_{A B N} + S_{A N D} + S_{C N D}$

$\Leftrightarrow a^{2} = \frac{1}{2} a . \frac{a}{2} + S_{A N D} + \frac{1}{2} . a . \frac{a}{2} \Rightarrow S_{A N D} = \frac{a^{2}}{2}$

Thể tích của khối tứ diện ADMN là:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a (ảnh 1)

b) Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF trong đó ME // ND, FN // DE và chia hình lập phương thành hai khối đa diện (H) và (H’), gọi phần khối lập phương chứa A, B, A’, mặt phẳng (DMN) là (H).

Chia (H) thành các hình chóp F.DBN, D.ABFMA’ và D.A’EM.

Ta có: FN // ED $\Rightarrow Δ F B N$ đồng dạng với

$\Rightarrow \frac{B F}{B N} = \frac{D D^{'}}{E D^{'}} = \frac{4}{3} \Rightarrow B F = \frac{4}{3} B N = \frac{4}{3} . \frac{a}{2} = \frac{2 a}{3}$

Ta có:

$S_{B D N} = \frac{1}{2} S_{B D C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{a^{2}}{4}$

Thể tích của khối chóp F.DBN là:

$V_{F . B D N} = \frac{1}{3} S_{B N D} . F B = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}}{4} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{3}}{18}$

Lại có:

$S_{F M B^{'}} = \frac{1}{2} F B^{'} . B^{'} M = \frac{1}{2} . \frac{a}{3} . \frac{a}{2} = \frac{a^{2}}{12}$

Diện tích ngũ giác ABFMA’ là:

$S_{A B F M A^{'}} = S_{A B B^{'} A^{'}} - S_{F M B^{'}} = a^{2} - \frac{a^{2}}{12} = \frac{11 a^{2}}{12}$

Thể tích của khối chóp D.ABFMA’ là:

$V_{D . A B F M A^{'}} = \frac{1}{3} . D A . S_{A B F M A^{'}} = \frac{1}{3} . a . \frac{11 a^{2}}{12} = \frac{11 a^{3}}{36}$

Mặt khác ta có:

$S_{A^{'} M E} = \frac{1}{2} A^{'} M . A^{'} E = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{4} = \frac{a^{2}}{16}$

Thể tích của khối chóp D.A’EM là:

$V_{D . A^{'} E M} = \frac{1}{3} S_{A^{'} E M} . D D^{'} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}}{16} . a = \frac{a^{3}}{48}$

Do đó thể tích của (H) là:

$V_{(H)} = V_{F . D B N} + V_{D . A B F M A^{'}} + V_{D . A^{'} E M} = \frac{a^{3}}{18} + \frac{11 a^{3}}{36} + \frac{a^{3}}{48} = \frac{55 a^{3}}{144}$