Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

Với giải bài tập 8 trang 26 sgk Toán lớp 12 Hình học được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

1 7,994 03/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 8 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

*Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} B C ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \\ B C ⊥ A B (h c n A B C D) \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A B^{'}$

Mà $A B^{'} ⊥ S B$

Nên $A B^{'} ⊥ (S B C) \Rightarrow A B^{'} ⊥ S C$ (1)

Chứng minh tương tự ta được:

$A D^{'} ⊥ (S C D) \Rightarrow A D^{'} ⊥ S C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta lại có:

$S B = \sqrt{A B^{2} + S A^{2}} = \sqrt{a^{2} + c^{2}}$

$S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{S A^{2} + A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Ta có:

$S_{S A B} = \frac{1}{2} S A . A B = \frac{1}{2} A B^{'} . S B$

$\Rightarrow A B^{'} = \frac{S A . A B}{S B} = \frac{c . a}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}$

Tương tự:

$A D^{'} = \frac{S A . A D}{S D} = \frac{b . c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}$ ;

$A C^{'} = \frac{S A . A C}{S C} = \frac{c . \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\Rightarrow S B^{'} = \sqrt{S A^{2} - A {B^{'}}^{2}} = \sqrt{c^{2} - {(\frac{c a}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}})}^{2}}$

Tương tự:

$S D^{'} = \frac{c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}; S C^{'} = \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Vì tam giác SC’B’ đồng dạng với tam giác SBC nên $\frac{B^{'} C^{'}}{S C^{'}} = \frac{B C}{S B}$

$\Rightarrow B^{'} C^{'} = \frac{B C . S C^{'}}{S B} = \frac{b . \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}} = \frac{b c^{2}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Tương tự:

$C^{'} D^{'} = \frac{a c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Ta có: $A B^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ và $A D^{'} ⊥ D^{'} C^{'}$ nên:

$S_{A B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} . A B^{'} . B^{'} C^{'} = \frac{1}{2} . \frac{c a}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}} . \frac{b c^{2}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$= \frac{a b c^{3}}{2 (a^{2} + c^{2}) \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$S_{A D^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} A D^{'} . D^{'} C^{'} = \frac{1}{2} . \frac{c b}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} . \frac{a c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{a b c^{3}}{2 (b^{2} + c^{2}) \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Vậy thể tích khối chóp S.AB’C’D’ là:

$V = \frac{1}{3} . S C^{'} . S_{A B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{3} . S C^{'} (S_{A B^{'} C^{'}} + {S^{'}}_{A D^{'} C^{'}}) = \frac{1}{3} . \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} . \frac{1}{2} . \frac{a b c^{3}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} (\frac{1}{a^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{2} + c^{2}})$

$= \frac{1}{6} . \frac{a b c^{5}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \frac{a^{2} + b^{2} + 2 c^{2}}{(a^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2})} = \frac{a b c^{5} (a^{2} + b^{2} + 2 c^{2})}{6 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2})}$

*Phương pháp giải

Xác định tọa độ các điểm: Sử dụng các điều kiện đã cho để xác định tọa độ của các điểm B’, D’ và C’.
Xác định mặt phẳng (AB’D’): Tìm phương trình mặt phẳng (AB’D’) và điểm C’ là giao điểm của mặt phẳng này với đường thẳng SC.
Tính thể tích khối chóp: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp với các điểm đã xác định.

* Lý thuyết và một số dạng bài tập liên quan:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)