Cho elip có phương trình chính tắc: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, với các tiêu điểm F1(–c; 0)

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Elip

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c=\sqrt{a^2-b^2}$  (H.3.6). Xét các đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}$  và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$ . Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$  và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$  theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng:  Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₁ = a + x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$  Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x > 0 nên MF₂ = |a –$\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (H.3.1)...

Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6...

Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10: (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình x² + y² = a² và số  (0 < k < 1)...

HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y)...

Luyện tập 3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ , điểm M thay đổi trên elip...

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc...

Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$ . Tìm tâm sai...

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm...

Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1.$ a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip...

Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6...

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ . a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng...

Bài 3.4 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8)...

Bài 3.5 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo...

Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn)...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3