Biết $\cos \left(a-\frac{b}{2}\right)=\frac{1}{2}$ và $\sin \left(a-\frac{b}{2}\right)>0$; $\sin \left(\frac{a}{2}-b\right)=\frac{3}{5}$ và $\cos \left(\frac{a}{2}-b\right)>0$. Giá trị $\cos \left(a+b\right)$ bằng:

Đáp án đúng là : A

Lời giải.

Ta có :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos \left(a-\frac{b}{2}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(a-\frac{b}{2}\right)>0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \sin \left(a-\frac{b}{2}\right) \\ =\sqrt{1-{\cos }^2\left(a-\frac{b}{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \left\{\begin{array}{l}\sin \left(\frac{a}{2}-b\right)=\frac{3}{5}\\ \cos \left(\frac{a}{2}-b\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{a}{2}-b\right) \\ =\sqrt{1-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}-b\right)}=\frac{4}{5} \\ cos\frac{a+b}{2} \\ =\cos \left(a-\frac{b}{2}\right)\cos \left(\frac{a}{2}-b\right) \\ +\sin \left(a-\frac{b}{2}\right)\sin \left(\frac{a}{2}-b\right) \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}.\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 5}}+\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}.\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}=\frac{{\displaystyle 3\sqrt{3}+4}}{{\displaystyle 10}} \\ \cos \left(a+b\right)=2{\cos }^2\frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle 2}}-1 \\ =\frac{{\displaystyle 24\sqrt{3}-7}}{{\displaystyle 50}}. \end{gathered}$$

*Phương pháp giải:

 Áp dụng công thức lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

Xem thêm

Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức 

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 11