Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}mx-y=2m\\ x-my=1+m\end{array}\right.$. Giá trị thích hợp của tham số m để biểu thức P = xy đạt giá trị lớn nhất?

Đáp án đúng là là: D

Lời giải

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 1& -m\end{array}\right|=-m^2+1=\left(1-m\right)\left(1+m\right)$

 

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2m& -1\\ m+1& -m\end{array}\right|=-2m^2+m+1=\left(2m+1\right)\left(1-m\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 2m\\ 1& m+1\end{array}\right|=m^2-m=m\left(m-1\right)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff D\ne 0$

$\iff -m^2+1\ne 0\iff m\ne \pm 1\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-m}{m+1}\end{array}\right.$

Khi đó: $p=x.y=\frac{-m\left(2m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}=\frac{-2\left(m^2+2m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}+\frac{3\left(m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}$

$=-2+\frac{3}{m+1}-\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}$

Đặt $\frac{1}{m+1}=t$

$\Rightarrow \frac{1}{{(m+1)}^2}=t^2\Rightarrow P=-2+3t-t^2=-{\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$$\Rightarrow P_{m\text{ax}}=\frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff t=\frac{3}{2}\iff \frac{1}{m+1}=\frac{3}{2}\iff m=-\frac{1}{3}$

*Phương pháp giải

+ Tính các định thức : $D,D_x,D_y$

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $D\ne 0$, khi đó $x={\displaystyle \frac{D_x}{D}};y={\displaystyle \frac{D_y}{D}}$

+ Tính giá trị lớn nhất của $P=x.y$

*Lý thuyết:

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\text{ (1)}\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\text{ (2)}\end{array}\right.$

Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước $a^2+b^2\ne 0$ và $a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2\ne 0$.

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $\left(x_0;y_0\right)$ thì $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’

Trường hợp 1: $d\cap d\text{'}=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2: d // d’ $\iff$Hệ phương trình vô nghiệm

Trường hợp 3: $d\equiv d\text{'}\iff$Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý: Với trường hợp $a\text{'};b\text{'};c\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$.

Xem thêm

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án 2024) - Toán 9 

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9