Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& -m\end{array}\right|=-m^2-1;$$D_x=\left|\begin{array}{cc}m+1& 1\\ 2017& -m\end{array}\right|=-m^2-m-2017;$$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& m+1\\ 1& 2017\end{array}\right|=2016m-1$

Vì $D=-m^2-1\le -1\ne 0$ nên hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:  $D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff D\ne 0\iff m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}3& m-5\\ 2& m-1\end{array}\right|=3\left(m-1\right)-2\left(m-5\right)=m+7$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}6& m-5\\ 4& m-1\end{array}\right|=6\left(m-1\right)-4\left(m-5\right)=2m+14$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 4\end{array}\right|=0$

+ Nếu $D\ne 0\iff m+7\ne 0\iff m\ne -7$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+14}{m+7}=2\\ y=\frac{D_y}{D}=0\end{array}\right.$

+ Nếu $D=0\iff m=-7\Rightarrow D_x=D_y=0$ thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Do đó, kết luận A, C, D đúng; B sai

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}1& -m\\ m& -1\end{array}\right|=m^2-1;$$D_x=\left|\begin{array}{cc}0& -m\\ m+1& -1\end{array}\right|=m(m+1);$$D_y=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ m& m+1\end{array}\right|=m+1$

Nếu $D=0\iff m^2-1=0\iff m=\pm 1$

Với $m=1$$\Rightarrow D_x\ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Với $m=-1$$\Rightarrow D_x=D_y=0$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện $x\ne 1,y\ne 0$

Đặt $u=\frac{1}{x-1};v=\frac{1}{y}.$ Hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{c}2mu+2v=3\\ mu+6v=4\end{array}\right.$

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}2m& 2\\ m& 6\end{array}\right|=10m;$$D_u=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 6\end{array}\right|=10;$$D_v=\left|\begin{array}{cc}2m& 3\\ m& 4\end{array}\right|=5m$

Với $m\ne 0$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$u=\frac{D_u}{D}=\frac{10}{10m}=\frac{1}{m};v=\frac{D_v}{D}=\frac{5m}{10m}=\frac{1}{2}$

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{m}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x-1=m\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=m+1\\ y=2\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

$\left\{\begin{array}{c}{m}^{2}x+\left(m+4\right)y=2\\ m\left(x+y\right)=1-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^{2}x+\left(m+4\right)y=2\\ mx+\left(m+1\right)y=1\end{array}\right.$

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}{m}^2& m+4\\ m& m+1\end{array}\right|=m^3-4m=m\left(m^2-4\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2& m+4\\ 1& m+1\end{array}\right|=2\left(m+1\right)-m-4=m-2$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}{m}^2& 2\\ m& 1\end{array}\right|=m^2-2m$

Nếu $D=0\iff m\left(m^2-4\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\pm 2\end{array}\right.$

+) Với $m=0\Rightarrow D_x\ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm

+) Với  $m=2\Rightarrow D_x=D_y=0$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với $m=-2\Rightarrow D_x\ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm

Vậy với $m=0$ hoặc $m=-2$ thì hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m-1& 1\\ 1& m-1\end{array}\right|=m^2-2m+1-1=m^2-2=m(m-2)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}3m-4& 1\\ m& m-1\end{array}\right|=\left(3m-4\right)\left(m-1\right)-m=m^2-8m+4=(m-2)(2m-3)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m-1& 3m-4\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-m-3m+4=m^2-4m+4={(m-2)}^2$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff D\ne 0\iff m(m-2)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{3m-2}{m}\left(1\right)\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{m-2}{m}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) $\iff xm=3m-2\iff m=\frac{2}{3-x}$

Thay vào (2) ta được: $y=1-\frac{2}{m}=1-(3-x)=x-2$

Vậy y = x – 2

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=5\ne 0$

Vì $D\ne 0$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{5-a}{5};y=\frac{D_y}{D}=\frac{3a}{5}$

Khi đó:

$x^2+y^2={\left(\frac{5-a}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{5}\right)}^2$

$=\frac{25-10a+10a^2}{25}=\frac{10}{25}\left(a^2-a\right)+1=\frac{2}{5}{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{10}\ge \frac{9}{10}$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

$D=\left|\begin{array}{cc}a+b& a-b\\ a^3+b^3& a^3-b^3\end{array}\right|=\left(a+b\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a-b\right)\left(a^3+b^3\right)$

$=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

$=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-a^2+ab-b^2\right)=2ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2& a-b\\ 2(a^2+b^2)& a^3-b^3\end{array}\right|=2\left(a^3-b^3\right)-2\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)$

$=2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-2\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)$$=2ab(a-b)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}a+b& 2\\ a^3+b^3& 2(a^2+b^2)\end{array}\right|=2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-2(a^3+b^3)$

$=2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-2\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$$=2ab(a+b)$

Với $a\ne b;a,b\ne 0\Rightarrow D\ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2ab\left(a-b\right)}{2ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{1}{a+b}\\ x=\frac{D_y}{D}=\frac{2ab\left(a+b\right)}{2ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{1}{a-b}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& m+2\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-m-2$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}5& m+2\\ 2m+3& m\end{array}\right|=5m-(m+2)(2m+3)=-2m^2-2m-6$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 5\\ 1& 2m+3\end{array}\right|=2m^2+3m-5$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D\ne 0\iff m^2-m-2\ne 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ne -1\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Khi đó: $x=\frac{D_x}{D}=\frac{-2(m^2+m+3)}{m^2-m-2};y=\frac{D_y}{D}=\frac{2m^2+3m-5}{m^2-m-2}$

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\left\{\begin{array}{c}\frac{-2(m^2+m+3)}{m^2-m-2}<0\left(1\right)\\ \frac{2m^2+3m-5}{m^2-m-2}<0\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff \frac{m^2+m+3}{m^2-m-2}>0\iff m^2-m-2>0$$(vì m^2+m+3={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0,\forall m)$

$\iff \left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>2\end{array}\right.\left(*\right)$

$\left(2\right)\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}2m^2+3m-5>0\\ m^2-m-2<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}2m^2+3m-5<0\\ m^2-m-2>0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-\frac{5}{2}\\ m>1\end{array}\right.\\ -1<m<2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}-\frac{5}{2}<m<1\\ \left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}1<m<2\\ -\frac{5}{2}<m<-1\end{array}\right.\left(**\right)$

Từ (*) và (**) suy ra $-\frac{5}{2}<m<-1$

Đáp án cần chọn là: D

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}mx-(m+1)y=3m\\ x-2my=m+2\end{array}\right.$

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& -(m+1)\\ 1& -2m\end{array}\right|=-2m^2+m+1=\left(2m+1\right)\left(1-m\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}3m& -(m+1)\\ m+2& -2m\end{array}\right|=-6m^2+(m+2)(m+1)$$=-5m^2+3m+2=\left(5m+2\right)\left(1-m\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 3m\\ 1& m+2\end{array}\right|=m^2+2m-3m=m^2-m=m(m-1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\iff D\ne 0\iff \left(2m+1\right)\left(1-m\right)\ne 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ne -\frac{1}{2}\\ m\ne 1\end{array}\right.$

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{\left(5m+2\right)\left(1-m\right)}{\left(2m+1\right)\left(1-m\right)}=\frac{5m+2}{2m+1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{m\left(m-1\right)}{\left(2m+1\right)\left(1-m\right)}=\frac{-m}{2m+1}\end{array}\right.$

Thay giá trị của x, y vào phương trình: $x+2y=4$ ta được:

$\frac{5m+2}{2m+1}-\frac{2m}{2m+1}=4\iff \frac{3m+2}{2m+1}=4\iff 3m+2=8m+4$

$\iff m=-\frac{2}{5}$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án đúng là là: D

Lời giải

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 1& -m\end{array}\right|=-m^2+1=\left(1-m\right)\left(1+m\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2m& -1\\ m+1& -m\end{array}\right|=-2m^2+m+1=\left(2m+1\right)\left(1-m\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 2m\\ 1& m+1\end{array}\right|=m^2-m=m\left(m-1\right)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff D\ne 0$

$\iff -m^2+1\ne 0\iff m\ne \pm 1\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-m}{m+1}\end{array}\right.$

Khi đó: $p=x.y=\frac{-m\left(2m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}=\frac{-2\left(m^2+2m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}+\frac{3\left(m+1\right)}{{\left(m+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}$

$=-2+\frac{3}{m+1}-\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}$

Đặt $\frac{1}{m+1}=t$

$\Rightarrow \frac{1}{{(m+1)}^2}=t^2\Rightarrow P=-2+3t-t^2=-{\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$$\Rightarrow P_{m\text{ax}}=\frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff t=\frac{3}{2}\iff \frac{1}{m+1}=\frac{3}{2}\iff m=-\frac{1}{3}$

*Phương pháp giải

+ Tính các định thức : $D,D_x,D_y$

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $D\ne 0$, khi đó $x={\displaystyle \frac{D_x}{D}};y={\displaystyle \frac{D_y}{D}}$

+ Tính giá trị lớn nhất của $P=x.y$

*Lý thuyết:

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\text{ (1)}\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\text{ (2)}\end{array}\right.$

Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước $a^2+b^2\ne 0$ và $a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2\ne 0$.

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $\left(x_0;y_0\right)$ thì $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’

Trường hợp 1: $d\cap d\text{'}=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2: d // d’ $\iff$Hệ phương trình vô nghiệm

Trường hợp 3: $d\equiv d\text{'}\iff$Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý: Với trường hợp $a\text{'};b\text{'};c\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$.

Xem thêm

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án 2024) - Toán 9 

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ m-1& m-1\end{array}\right|=m^2-m-2m+2=m^2-3m+2=\left(m-1\right)\left(m-2\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 1& m-1\end{array}\right|=m^2-m-2=\left(m+1\right)\left(m-2\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& m\\ m-1& 1\end{array}\right|=-m^2+2m=-m\left(m-2\right)$

Nếu $D\ne 0\iff \left(m-1\right)\left(m-2\right)\ne 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\ne 2\end{array}\right.$=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-m}{m-1}=-1-\frac{1}{m-1}\end{array}\right.$

Để x, y $\in$ Z. Suy ra $\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{m-1}\in Z\\ \frac{1}{m-1}\in Z\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m-1\in U\left(2\right)=\left\{\pm 1;\pm 2\right\}\\ m-1\in U\left(1\right)=\left\{\pm 1\right\}\end{array}\right.\Rightarrow m-1\in U\left(1\right)=\left\{\pm 1\right\}=\left\{-1;1\right\}$

+) Với m – 1 = 1 ⇒ m = 2 (loại)

+) Với m – 1 = −1 ⇒ m = 0 (thoả mãn)

Nếu D = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}\right.$

+) Với $m=1\Rightarrow D_x\ne 0$ suy ra hệ phương trình vô nghiệm 

+) Với $m=2\Rightarrow D=D_x=D_y=0$ suy ra hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{c}2x+2y=2\\ x+y=1\end{array}\right.$, khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy m = 0 hoặc m = 2 thoả mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A