Cho elip (E): 9x² + 36y² – 144 = 0. Tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng:

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Ta có 9x² + 36y² – 144 = 0

⇔ 9x² + 36y² = 144

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{144.\frac{1}{9}}} + \frac{{{y^2}}}{{144.\frac{1}{{36}}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\)

Suy ra c² = a² – b² = 16 – 4 = 12.

Khi đó \(c = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).

Vì vậy tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

*Phương pháp giải:

Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa elip

Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

2. Các thành phần của Elip

Trong mặt phẳng Oxy

II. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

III. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

+ Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=a^2$. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho : $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=\frac{b}{a}y\end{array}\right.$ với (0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{y{\text{'}}^2}{b^2}=1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Xem thêm

Phương trình đường elip (Lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải 

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án – Toán lớp 10