Các dạng bài tập Toán lớp 9 Giữa học kì 2

Tổng hợp các dạng bài tập Toán lớp 9 Giữa học kì 2 gồm các dạng Toán từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh nắm vững kiến thức từ đó biết cách giải bài tập Toán 9.

1 580 lượt xem


Các dạng bài tập Toán lớp 9 Giữa học kì 2

A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Các dạng bài tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

50 bài tập về Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Hệ phương trình có chứa tham số (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2022) - Toán 9

B. HÌNH HỌC

Các dạng bài tập Góc với đường tròn

50 bài tập về Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Góc nội tiếp (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Tứ giác nội tiếp (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Đường tròn nội tiếp, Đường tròn ngoại tiếp (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn (có đáp án 2022) - Toán 9

50 bài tập về Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn (có đáp án 2022) - Toán 9

Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c

trong đó a, b, c là các số cho trước, a0;b0.

- Nếu số thực x0;y0 thỏa mãn ax0+by0=c thì cặp số x0;y0 được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm x0;y0 của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ x0;y0.

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by =c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c

- Nếu a0 và b = 0 thì phương trình có nghiệm x=cay và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và b0 thì phương trình có nghiệm xy=cb và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.

- Nếu a0;b0 thì phương trình có nghiệm xy=abx+cb hoặc yx=bay+ca khi đó đường thẳng d cắt cả hai trục Ox; Oy. Đường thẳng d là đồ thị hàm số y=abx+cb.

II. Dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xét một cặp số cho trước có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn không.

Phương pháp giải: Nếu cặp số thực x0;y0 thỏa mãn ax0+by0=c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

Ví dụ 1: Trong các cặp số (12; 1); (1; 1); (2; -3) cặp số nào là nghiệm của phương trình 2x – 5y =19.

Lời giải:

- Xét cặp số (12; 1)

Thay x = 12 và y = 1 ta có:

2.12 -1.5 = 24 – 5 = 19 nên cặp số (12; 1) là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.

- Xét cặp số (1; 1) ta có:

Thay x = 1; y = 1 ta có:

2.1 – 5.1 = -3 nên cặp số (1; 1) không là nghiệm của phương trình 2x – 5y =19.

- Xét cặp số (2; -3)

Thay x = 2 và y = -3 ta có:

2.2 – 5.(-3) = 4 + 15 = 19 nên căp số (2; -3) là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.

Ví dụ 2: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2; 0) và (-1; -2).

Lời giải:

Vì nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng nên ta gọi đường thẳng đó là d: y = ax + b.

+ Thay x = 2; y = 0 vào đường thẳng d ta có: 0 = 2.a + b (1)

+ Thay x = -1; y = -2 vào đường thẳng d ta có: -2 = -1.a + b (2)

Từ (2) ta có: b = -2 + a thay vào (1) ta có:

2.a + a – 2 =0

3a – 2 = 0

3a = 2

a=23b=2+23=43

Đường thẳng d cần tìm là y = 23x43

Phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x – 3y – 4 = 0.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm phương trình trên mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c = 0.

- Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.

- Để biểu diễn tập nghiệm phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x – 3y = 5

b) 4x +0y =12.

Lời giải:

a) Xét phương trình 2x – 3y = 5 ta có:

a0;b0 (do a = 2; b = -3) nên ta có công thức nghiệm của phương trình là

xy=abx+cbxy=23x53

Vẽ đường thẳng y=23x53 trên hệ mặt phẳng tọa độ.

Cho x = 0 y=53A0;53

Cho y = 0x=52B52;0

Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Nghiệm của phương trình 2x – 3y = 5 là đường thẳng được biểu diễn trên hình vẽ.

b) Xét phương trình 4x + 0y = 12

a0;b=0 (do a = 4; b = 0) nên ta có công thức nghiệm của phương trình là

x=cayx=124=3y

Vẽ đường thẳng x = 3 trên hệ mặt phẳng tọa độ.

Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây để giải dạng toán này.

- Nếu a0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d: x=cakhi đó d song song hoặc trùng với Oy.

- Nếu a = 0 và b0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d: y=cbkhi đó d song song hoặc trùng với Ox.

- Nếu a0;b0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d: y=abx+cb.

- Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm Mx0;y0 khi và chỉ khi ax0+by0=c.

Ví dụ 1:  Cho đường thẳng d có phương trình: (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2

Tìm m để:

a) d song song hoặc trùng với trục hoành.

b) d song song hoặc trùng với trục tung

c) d đi qua điểm A(1; -1).

Lời giải:

a) Để d song song với trục hoành

a=0b0

m2=03m10

m=23m1

m=2m13

Vậy m = 2 thì d song song với trục hoàng.

b) Để d song song với trục tung a0b=0

m203m1=0

m23m=1

m2m=13

Vậy m=13thì d song song với trục tung.

c) d đi qua A(1; -1). Thay x = 1; y = -1 và d ta có:

(m - 2).1 + (3m – 1).(-1) = 6m – 2

m23m+1=6m2

m3m2+16m+2=0

8m+1=0

8m=1

m=18

Vậy m=18 thì d đi qua A(1; -1)

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cặp số (-2; 3) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình dưới đây?

a) x – y = 1

b) 2x + 3y = 5

c) 2x + y = 7

d) 2x – y = -7

Bài 2: Trong các cặp số (1; 3); (-2; 0); (0; 4); (3; 2) cắp số nào là nghiệm của phương trình 2x + 2y = 8.

Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình bậc nhất hai ẩn m+1x2y=m+1có một nghiệm là (1; -1).

Bài 4: Cho hai nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn là (2; 3) và (4; 6). Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

Bài 5: Viết công thức tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) 3x – y = 5

b) 2x + 0y = 6

c) 0x + 3y = 9.

Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình:

(2m – 1)x +3(m – 1)y = 4m – 2

Tìm các tham số m để

a) d song song với Ox

b) d song song với Oy

c) d đi qua gốc tọa độ

d) d đi qua điểm A(2; 1).

Bài 7: Tìm giá trị của tham số m để cặp số 32;2 là nghiệm của phương trình:

 (m – 3)x +2my = 5 + m

Bài 8: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) x – 2y = 7

b) 3x – 2y = 3

c) 7x + 0y = 14.

Bài 9: Tìm phương trình đường thẳng d biết d đi qua hai điểm M(-1; -3) và N(2; 1).

Bài 10: Cho đường thẳng d có phương trình:

(2m – 3)x + (3m – 1)y = m + 2

a) d song song với Ox

b) d song song với Oy

c) d đi qua gốc tọa độ

d) d đi qua A(2; 3).

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Góc ở tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Khi đó AOB^  là góc ở tâm.

- Nếu 0°<α<180°  thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

- Nếu α=180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

Kí hiệu cung AB là AB .

2. Số đo cung

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB .

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Ví dụ trên hình vẽ:

AOB^=sđ  AB nhỏ (góc ở tâm chắn cung AB )

- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180° , số đo cả đường tròn bằng 360° .

3. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn.

Chú ý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì

sđ AB = sđ AC + sđ BC.

4. Một số định lí liên hệ giữ cung và dây

Định lí 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau ta có:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

 Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Một số định lý khác:

- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy vừa ngược lại.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán liên quan đến góc ở tâm, số đo cung

Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng các kiến thức sau:

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180° , số đo cả đường tròn bằng 360° .

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.

- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.

Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết AMB^=40°

a) Tính AOM^ và AMO^ .

b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác của AMB^  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

AMO^=BMO^=AMB^2=40°2=20°

 

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn OAAM  (tính chất)

OAM^=90°

Xét tam giác AOM có:

OAM^+AMO^+AOM^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

90°+20°+AOM^=180°

AOM^=180°90°20°

AOM^=70°

b) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác AOB^  (tính chất)

AOM^=BOM^=AOB^2

AOB^=2AOM^AOB^=2.70°=140°

Ta có: AOB^ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

AOB^ = sđ AB nhỏ (định lí góc ở tâm)

=> sđ AB nhỏ = 140°

Số đo AB lớn là:

360° - sđ AB nhỏ = 360°140°=220°

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB = R2 . Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB

OIAB (tính chất)

AIO^=90°

 

Vì I là trung điểm của AB nên IA=IB=AB2=R22

Xét tam giác AOI vuông tại I ta có:

sinAOI^=AIOA=R22R=22

AOI^=45°

Xét tam giác AOB có:

OA = OB = R

Do đó tam giác AOB là tam giác cân tại O

=> OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

AOB^=2AOI^=2.45°=90°

 

Mà AOB^ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

AOB^= sđ AB nhỏ (định lí góc ở tâm)

=> sđ AB nhỏ = 90°

Số đo AB lớn là:

360° - sđ AB nhỏ = 360°90°=270°

Dạng 2: Các bài toán liên hệ giữa dây và cung

Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến dây và cung, cần nắm chắc định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với liên hệ giữa cung và dây.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây AC và BD sao cho AC và BD song song với nhau. So sánh số đo hai cung nhỏ AC và BD .

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD

OFACOGBD

Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng

Xét ΔAOF và ΔBOG  có

OA = OB  (bán kính)

AOF^=BOG^ (hai góc đối đỉnh)

OFA^=OGB^=90°

Do đó  ΔAOFΔBOG ( cạnh huyền – góc nhọn)

 => AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD

 => AC = BD

Ta có:

AC là dây căng cung nhỏ AC

BD là dây căng cung nhỏ BD

Do đó: sđ AC nhỏ = sđ  BD nhỏ (định lý hai day bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC song song với DE.

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED có:

O là trung điểm của AE

Mà OA = OE = OD = R

Do đó tam giác AED vuông tại D (tính chất)

ADE^=90°

DEAD

Mặt khác ADBC

Do đó DE // BC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

b) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Do đó:

sđ CE nhỏ = sđ BD nhỏ (nằm giữa hai dây DE và BC song song với nhau)

Lại có:

sđ CE nhỏ + sđ  ED nhỏ  = sđ CD nhỏ   (1)

sđ  BDnhỏ + sđ ED  nhỏ = sđ BE  nhỏ  (2)

Từ (1) và (2) => sđ CD  nhỏ = sđ BE nhỏ

=> CD = BE (định lý hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Xét tứ giác BCED có:

BC // ED

=> Tứ giác BCED là hình thang

Lại có CD = BE nên tứ giác BCED là hình thang cân.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung AC có số đo nhỏ hơn 90° . Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh AC=BE .

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AO. Các điểm C, D thuộc đường (O) sao cho BCD;BC<BD . Các dây AC và AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;

b) Số đo các cung AE;AF  của đường tròn (O).

Bài 3: Trên cung nhỏ AB  của (O), cho hai điểm C và D sao cho cung AB được chia thành ba phần bằng nhau AC=CD=DB . Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F.

a) Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng AE và FB.

b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song.

Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến AM và BM với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Tính AOM^ ;

b) Tính  AOB^ và số đo cung nhỏ AB .

c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB .

Bài 5: Cho đường tròn (O; R), B là điểm thuộc (O). Gọi H là trung điểm của OB. Dây CD vuông góc với OB tại H. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD.

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ BM<90° . Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:

a) AB vuông góc với DN.

b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 7: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho CM=BN . Chứng minh:

a) AM = CN.

b) MN = CA = CB.

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC biết A^=50° .

Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN = 3R . Kẻ OK vuông góc vớ MN tại K. Hãy tính:

a) Độ dài OK theo R.

b) Số đo các góc MOK^ và MON^ .

c) Số đo cung nhỏ và cung lớn MN .

Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF  và BD bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE  bằng nhau.

c) DE = BF.

1 580 lượt xem


Xem thêm các chương trình khác: