Các dạng bài tập Toán lớp 12 Giữa học kì 2
Các dạng bài tập Toán lớp 12 Giữa học kì 2
Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân
Chuyên đề Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức
Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian
Chuyên đề Phương trình mặt phẳng
Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian
Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12
A. Lý thuyết
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ 1.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu:
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ 2.
2. Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ 3.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng .
Lời giải:
Với ta có:
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ 5.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ 6. Tính:
Lời giải:
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Phương pháp tính nguyên hàm.
1. Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ 8. Tính
Lời giải:
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 9. Tính
Lời giải:
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1:
Lời giải:
Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex. Ta có
Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?
Lời giải:
Cách 1.
Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:
Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu
Vậy chọn đáp án D.
Bài 3: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx
A. I = (3x2 - 7x +8)ex + C
B. I = (3x2 - 7x)ex + C
C. I = (3x2 - 7x +8) + ex + C
D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C
Lời giải:
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:
Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex . Do đó:
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx
Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .
Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C
Từ đó suy ra
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C
Vậy chọn đáp án A.
Bài 4:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án C.
Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng
A. 10m/s
B. 11m/s
C. 12m/s
D. 13m/s.
Lời giải:
Vận tốc của vật bằng
với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :
v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)
khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .
Vậy chọn đáp án D.
Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .
A. I = sin(4x + 2) + C
B. I = - sin(4x + 3) + C
C. I = ().sin(4x + 3) + C
D. I = 4sin(4x + 3) + C
Lời giải:
Đặt u = 4x + 3
⇒ du = 4dx ⇒ dx = du và cos(4x+3)dx được viết thành
Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?
A. Hàm số y = có nguyên hàm trên (-∞; +∞).
B. 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞).
C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).
D. + C là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞).
Lời giải:
Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .
Phương án A sai vì y= không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).
Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3.
Phương án D sai vì là đạo hàm của lnx trên (0; +∞).
Vậy chọn đáp án C.
Bài 8: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ?
A. x2 + ().cos2x
B. x2 + cos2 x
C. x2 - sin2x
D. x2 + cos2x .
Lời giải:
Ta có
∫(2x-sin2x)dx=2∫xdx-∫sin2xdx
D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.
Bài 9: Tìm nguyên hàm của
Lời giải:
Với x ∈ (0; +∞) ta có
Vậy chọn đáp án C.
Bài 10:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án B.
Ghi chú. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx
Lời giải:
Bài 2: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của:
Lời giải:
Bài 3: Họ nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 4: Họ nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 5: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của
Lời giải:
Bài 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)2 là:
Lời giải:
∫(2tanx + cotx)2dx = ∫(4tan2x + 2tanx.cotx + cot2x)dx
= ∫ [4(tan2x + 1) + (cot2x + 1) - 1]dx
= 4tanx = cotx - x + C
Bài 7: Biết rằng: f'(x) = ax + , f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0. Giá trị biểu thức ab bằng?
Lời giải:
Ta có:
Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:
Bài 8: Cho các hàm số:
với x > . Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:
Lời giải:
Ta có:
Bài 9: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng
và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:
Lời giải:
Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng
Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,
Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000
khi đó N(10) ≈ 264334.
Bài 10: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .
Lời giải:
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x .
Bài 2 Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ?
Bài 3 Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?
Bài 4 Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx
Bài 5 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
Bài 6 Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .
Bài 7 Tìm I = ∫x.e3xdx
Bài 8 Tìm I = ∫sin5xcosxdx .
Bài 9 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x .
Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian - Toán 12
A. Lý thuyết
I. Tọa độ của điểm và của vecto
1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: và .
2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức .
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).
3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho .
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết (a1; a2 ; a3) hoặc (a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto
Ta có: M(x; y; z)
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
Ví dụ 1. Cho
a) Tính ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) = (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);
b) Ta có: = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).
c) Ta có: = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto , ta có:
b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với thì hai vecto cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
Ví dụ 2. Cho . Tìm m và n để
Lời giải:
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
Lời giải:
a) Ta thấy
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
III. Tích vô hướng.
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức:
Ví dụ 5. Cho . Tính ?
Lời giải:
Ta có: = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto . Do đó, ta có:
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto và với thì
Từ đó, suy ra
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
IV. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính .
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính
b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2
Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính = 4
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x1, y1, z1), 2→ = (x2, y2, z2) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đún
Lời giải:
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các điểm là: A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB), CA(xC; yC, zC) . Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là sai?
Lời giải:
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ các điểm A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
Lời giải:
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;-6). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
A. (0;-1;-1)
B. (0;-3;-3)
C.(0;-2;-2)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a→ = (2; 1; -2) . Tìm tọa độ của các vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ và có độ dài bằng 6.
Lời giải:
Ta có:
Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:
Từ đó ta suy ra
Vậy đáp án cần tìm là C.
Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :
Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
Với những giá trị nào của m thì sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất
A. m=1
B. m=1 hoặc m=-8
C. m=-8
D. Không tồn tại m thỏa mãn.
Lời giải:
Với mọi cặp vectơ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hay hai vectơ này vuông
góc. Điều đó tương đương với điều kiện :
Chọn B.
Nếu chúng ta suy nghĩ sai là: ‘‘ sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180o , do đó tồn tại số k âm sao cho
Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D.
Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ a→ = (4; 3; 1); b→ = (-1; 2; 3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
Ta có
Suy ra
Vậy đáp án đúng là A.
Lưu ý. Đáp án B sai do tính nhầm
Đáp án C sai do tính nhầm
Đáp án D sai do tính nhầm
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:
A. (4;-1;-1)
B. (2;3;-7)
C. (3/2; 1/2; -2)
D. (-2;-3;7)
Lời giải:
Vì ABDC là hình bình hành nên ta có:
Vậy đáp án đúng là B.
Lưu ý. Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành.
Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành
Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng: AC→ = DB→
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2). Tọa độ điểm C’ là:
A. (3;1;0)
B. (8;3;2)
C. (2;1;0)
D. (6;3;2)
Lời giải:
Vì ACC’A’, ABCD là những hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
Từ đó suy ra:
Vậy đáp án đúng là D.
Lưu ý. Đáp án A sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của hai điểm B và D.
Đáp án B sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của ba điểm B, D và A’
Đáp án C xuất phát từ sai lầm rằng
Câu 10: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:
Giá trị nhỏ nhất của
A. 11
B. -1
C. 1
D. 0
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức vectơ
Dấu bằng xảy ra khi 2 vectơ
cùng hướng. Vậy độ dài của vectơ |a→ - 2b→| ≥ 0 nhỏ nhất bằng 1.
Suy ra đáp án đúng là C.
Lưu ý. Đáp án A là giá trị lớn nhất của
Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức
tuy nhiên đáp án B sai do độ dài của một vectơ không âm
Đáp án D xuất phát từ nhận xét
tuy nhiên trong trường hợp này dấu bằng không xảy ra
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.
- Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1
- Diện tích của mặt cầu (S) là π
- Thể tích của khối cầu (S) là 4π/3
Lời giải:
Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:
x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0
<=> (x2 - 2x + 1) +(y2 - 2y + 1) + (z2 - 4z + 4) = 1 + 1 + 4 - 5
<=> (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1
Vậy khẳng định B đúng.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.
Vậy khẳng định A đúng.
Thể tích của khối cầu (S) là
Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Lời giải:
Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:
Từ đó ta có:
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x'; y'; z') . Khẳng định nào dưới đây sai?
Lời giải:
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x'; y'; z') khác 0→ . Khẳng định nào dưới đây sai?
Lời giải:
Câu 5: Trong không gian Oxyz, trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng với mọi u→, v→ ?
Lời giải:
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x1; y1; z1), b→ = (x2; y2; z2) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3). Tọa độ của điểm C’ là?
Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;-3), B(-3;-2;-5). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM2 + 2BM2 = 30 là một mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho biểu thức AM2 + 2BM2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 4
Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S) và (S’) có tâm lần lượt là I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2. Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’). Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng?
Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (3; 4; 0), v→ = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là?
Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25
Bài 8 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0
Bài 10 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bài 11 Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?
Bài 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x - 8y + 15z - 3 = 0
Bài 13 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Toán 12
- Các dạng bài tập Toán lớp 12
- Lý thuyết Toán 12
- Chuyên đề Toán lớp 12 mới nhất
- Bài tập Toán lớp 12 mới nhất
- Giáo án Toán lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Góp ý sgk lớp 12 tất cả các môn năm 2024 - 2025 (3 bộ sách)
- Đề thi chính thức các môn THPT Quốc Gia các năm
- (3000+) Đề thi thử THPT Quốc Gia (các năm) từ các trường, sở trên cả nước
- Đề minh họa THPT quốc gia các năm
- Đề thi Đánh giá năng lực năm 2023 | Thông tin | Cấu trúc ĐGNL ĐHQG Hà Nội, HCM, ĐHBK, Bộ Công an
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12