Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) $y=\frac{3x+1}{1-x};$

b) $y=\frac{x^2-2x}{1-x};$

c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$;

d) $y=\frac{2x}{x^2-9}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {1}

Ta có: 

$$\begin{gathered} y=\frac{3x+1}{1-x} \\ =\frac{-3\left(1-x\right)+4}{1-x} \\ =-3+\frac{4}{1-x} \\ \Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}>0\forall x\in D \end{gathered}$$

Lại có: y'  không xác định tại x = 1

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+1}{1-x}=\frac{3}{-1}=-3 \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{1-x}=\frac{3}{-1}=-3 \end{gathered}$$

Do đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

b) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {1}

Ta có:  

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(1-x\right)+\left(x^2-2x\right)}{{\left(1-x\right)}^2} \\ =\frac{-x^2+2x-2}{{\left(1-x\right)}^2} \end{gathered}$$

y’ < 0 với mọi x thuộc D

(vì –x² + 2x – 2 = – (x – 1)² – 1 < 0).

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞).

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] $\cup$ [5; +∞)

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}$

Có $y^{\text{'}}=0\iff \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}=0$

$$\begin{gathered} \iff 2x – 1 = 0 \\ \iff x=\frac{1}{2}\notin D \end{gathered}$$

y' không xác định tại x = -4 và x = 5.

Nên ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -4); đồng biến trong khoảng (5; +∞).

d) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {±3}

Ta có:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{2\left(x^2-9\right)-2x.2x}{{\left(x^2-9\right)}^2} \\ =\frac{-2\left(x^2+9\right)}{{\left(x^2-9\right)}^2} \end{gathered}$$

Vì $x^2\ge 0\forall x\Rightarrow$ x² + 9 > 0 với mọi x

nên -2(x² + 9) < 0 với mọi x

Mà (x² - 9)² > 0 với mọi x thuộc D

Suy ra: y’ < 0 với mọi x thuộc D.

y' không xác định tại x = ±3

Lại có:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=0 \\ \underset{x\to -3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=-\infty \\ \underset{x\to -3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=+\infty \\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=-\infty \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=+\infty \end{gathered}$$

Nên ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) và (3; +∞ ).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 4 Toán lớp 12 Giải tích: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx...

Hoạt động 2 trang 5, 6 Toán lớp 12 Giải tích: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng...

Bài 1 trang 9 Toán 12 Giải tích: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

Bài 3 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số y = $\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1)...

Bài 4 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số căn 2x - x² đồng biến...

Bài 5 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh các bất đẳng thức...