Chứng minh rằng hàm số y=x/(x^2 +1) đồng biến trên khoảng (-1; 1)

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 3 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{1.\left(x^2+1\right)-2x.x}{{\left(x^2+1\right)}^2} \\ =\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2} \end{gathered}$$

Do (x² + 1)² 0 với mọi số thực x nên:

+ Hàm số nghịch biến khi y’ < 0

$\iff$1 – x² < 0 $\iff$x² > 1

$\iff \left[\begin{array}{l}x<-1\\ x>1\end{array}\right.$

$\iff x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

+ Hàm số đồng biến khi y’ > 0

$\iff$1 – x² > 0 $\iff$x² < 1  

$\iff$– 1 < x < 1

$\iff x\in \left(-1;1\right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 4 Toán lớp 12 Giải tích: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx...

Hoạt động 2 trang 5, 6 Toán lớp 12 Giải tích: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng...

Bài 1 trang 9 Toán 12 Giải tích: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

Bài 2 trang 10 Toán 12 Giải tích: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số...

Bài 4 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số căn 2x - x² đồng biến...

Bài 5 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh các bất đẳng thức...