Chứng minh rằng hàm số căn 2x - x^2 đồng biến

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 4 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

TXĐ: D = [0; 2]

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$ với mọi x thuộc (0; 2)

Do $\sqrt{2x-x^2}>0\forall x\in \left(0;2\right)$ nên:

+ Hàm số đồng biến khi y’ > 0 với mọi x (0; 2)

$\iff$1 – x > 0$\iff$x < 1

Do đó: 0 < x < 1.

+ Hàm số nghịch biến y’ < 0 với mọi x (0; 2)

$\iff$1 – x < 0 $\iff$x > 1

Do đó: 1 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 4 Toán lớp 12 Giải tích: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx...

Hoạt động 2 trang 5, 6 Toán lớp 12 Giải tích: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng...

Bài 1 trang 9 Toán 12 Giải tích: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

Bài 2 trang 10 Toán 12 Giải tích: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số...

Bài 3 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số y = $\frac{x}{x^2+1}$đồng biến trên khoảng (-1; 1)...

Bài 5 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh các bất đẳng thức...