Chứng minh các bất đẳng thức

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 5 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan x > x $\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right);$

b) tan x > x + $\frac{x^3}{3}$ $\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right).$

Lời giải:

a) Xét hàm số

y = f(x) = tanx – x trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{1}{co{s}^{2}x}-1={\tan }^{2}x>0$ với mọi số thực x

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Do đó: f(x) > f(0) với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Lại có: f(0) = tan 0 – 0 = 0

Khi đó: tan x – x > 0 với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

tan x > x với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ (đpcm).

b) Xét hàm số

y = g(x) = tanx – x – $\frac{x^3}{3}$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Ta có: 

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{co{s}^{2}x}-1-x^2 \\ ={\tan }^{2}x-x^2 \end{gathered}$$

= (tan x – x)(tan x + x)

Theo kết quả câu a) ta có:

tan x – x > 0 với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$,

hơn nữa tan x + x > 0 với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Do đó: $g^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Suy ra y = g'(x) đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

 $\Rightarrow$ g(x) > g(0) với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Lại có: g(0) = tan 0 – 0 – $\frac{0^3}{3}$ = 0

Do đó: g(x) > 0 với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Hay tanx – x – $\frac{x^3}{3}$ > 0 với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Khi đó: tan > x + $\frac{x^3}{3}$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$(đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 4 Toán lớp 12 Giải tích: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx...

Hoạt động 2 trang 5, 6 Toán lớp 12 Giải tích: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng...

Bài 1 trang 9 Toán 12 Giải tích: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

Bài 2 trang 10 Toán 12 Giải tích: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số...

Bài 3 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số y = $\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1)...

Bài 4 trang 10 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số căn 2x - x² đồng biến...