Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 11 trang 30 Chuyên đề Toán 10:

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Lời giải:

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^x$ (đồng) (x $\in$ ℕ^*)".

Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r\%}{m}=\frac{r}{100m}.$

+) Khi x = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . $\frac{r}{100m}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + A . $\frac{r}{100m}$ = $A\left(1+\frac{r}{100m}\right)=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^1$ (đồng)

Vậy mệnh đề đúng với x = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1}$ (đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k$ (đồng).

Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$ (đồng).

Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k+A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$

$$\begin{gathered} =A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k\left(1+\frac{r}{100m}\right) \\ =A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1} \end{gathered}$$

Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x $\in$ ℕ^*.

Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m . n (kì hạn).

Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:

 $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$ (đồng).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương...

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có: Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*,${(1+\sqrt{2})}^n$, ${(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng...

Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*...

Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n $\in$ ℕ^*...

Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^n}$...

Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10:  Cho $S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\dots$$+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$...

Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = $\frac{1-q^n}{1-q},$..

Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ta có: a) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9...

Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2...

Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1})...

Bài 8 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất). a) Nêu quy luật chọn tam giác đều...

Bài 9 trang 30 Chuyên đề Toán 10:  Quan sát Hình 6. a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ...

Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Nhị thức newton

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Ba đường conic