Chứng minh với mọi n thuộc N*, ta có: 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ta có:

a) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9;

b) 13ⁿ – 1 chia hết cho 6.

Lời giải:

a)

+) Khi n = 1, ta có: 4¹ + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4^k + 15k – 1 ⁝ 9.

Khi đó:

4^{k + 1} + 15(k+1) – 1

= 4 . 4^k + 15k + 14

= 4. 4^k + (60k – 45k) + (–4 + 18)

= (4 . 4^k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18

Vì 4^k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

b)

+) Khi n = 1, ta có: 13¹ – 1 = 12 ⁝ 6.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13^k – 1 ⁝ 6.

Khi đó:

13^{k + 1} – 1

= 13 . 13^k – 1

= 13 . 13^k – 13 + 12

= 13 . (13^k – 1) + 12

Vì 13^k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13^k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương...

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có: Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*,${(1+\sqrt{2})}^n$, ${(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng...

Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*...

Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n $\in$ ℕ^*...

Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^n}$...

Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10:  Cho $S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\dots$$+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$...

Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = $\frac{1-q^n}{1-q},$..

Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2...

Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1})...

Bài 8 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất). a) Nêu quy luật chọn tam giác đều...

Bài 9 trang 30 Chuyên đề Toán 10:  Quan sát Hình 6. a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ...

Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm...

Bài 11 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Nhị thức newton

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Ba đường conic