Cho Sn = 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) +...+ 1/[(4n-3)(4n+1)]

Lời giải Bài 3 trang 29 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 910 10/11/2022

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10:

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots$ $+ \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

b) Ta dự đoán $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1} .$

+) Khi n = 1, ta có: $S_{1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4 . 1 + 1} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{4 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $S_{k} = \frac{k}{4 k + 1} .$

Khi đó:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots$ $+ \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)} +$ $\frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k [4 (k + 1) + 1]}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} +$ $\frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k (4 k + 5)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$ $+ \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} +$ $\frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k + 1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(4 k + 1) (k + 1)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(k + 1)}{4 (k + 1) + 1} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1}$ với n $\in$ ℕ^*.