Chứng minh rằng với mọi n thuộc N* ta có: Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10

Lời giải Luyện tập 1 trang 25 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 283 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:

a) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots$ $+ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1.$

b) $\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots$ $\frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{2 (n^{2} + n + 1)}{3 n (n + 1)} .$ .

Lời giải:

+) Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{1 + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots +$ $\frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}} = \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots$ $+ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - 1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots$ $+ \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots +$ $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}})$ $+ \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) +$ $\frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{(\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}) (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{[(k + 1) + 1] - (k + 1)}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{1}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})$

$= \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 2, ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} = \frac{7}{9} = \frac{2 (2^{2} + 2 + 1)}{3 . 2 (2 + 1)} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1} = \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} = \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} .$