Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm

Lời giải Bài 10 trang 30 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 313 10/11/2022

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10:

Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_{n} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{n} - 1]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Lời giải:

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_{n} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{n} - 1]$ (đồng) (n $\in$ ℕ^*)".

+) Khi n = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A . r}{100}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + $\frac{A . r}{100}$

Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k + 1} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - 1]$ (đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau k (năm) là:

$T_{k} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k} - 1]$ (đồng).

Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:

– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T_k + A (đồng).

– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) . r% (đồng).

– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:

Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương...

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có: Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1 + \sqrt{2})}^{n}$ , ${(1 - \sqrt{2})}^{n}$ lần lượt viết được ở dạng...