Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r. căn 3

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 7 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = $r\sqrt{3}$.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30^o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi r.r\sqrt{3}=2\pi r^2\sqrt{3}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+2S_{day}=2\pi r^2\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}2.\pi r^2 \\ =2\pi r^2(\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$.

b) Thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:

$V=\pi r^{2}h=\pi .r^2.r\sqrt{3}=\pi .r^3\sqrt{3}$

c) Vẽ đường thẳng AA’// OO’

Ta có: (AB; OO’) = (AB; AA’) = $\widehat{B\text{}A\text{}A\text{}\text{'}}={30}^0$

Gọi M là trung điểm A’B.

Ta có:

$$\begin{gathered} OM\perp A\text{'}B;OM\perp A\text{}A\text{'} \\ \Rightarrow OM\perp (\text{}AA\text{'}B) \end{gathered}$$

Suy ra: d(O; (AA’B)) = OM.

+ Tính OM

Xét tam giác vuông AA’B có:

A’B = AA’. tan30⁰ = $r\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=r$

$\Rightarrow A\text{'}M=\frac{A\text{'}B}{2}=\frac{r}{2}$

Xét tam giác OMA’ ta có:

$\begin{array}{l}O{M}^2=O{A}^2-MA{\text{'}}^2=r^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{3r^2}{4}\\ \Rightarrow OM=\frac{r\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Vì OO’ // AA’ nên:

d(OO’;  AB) = d(OO’; (AA’B)) 

= OM  = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 31 Toán lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay...

Hoạt động 2 trang 35 Toán lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh...

Hoạt động 3 trang 38 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P)...

Bài 2 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay...

Bài 3 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm...

Bài 4 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm...

Bài 5 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm...

Bài 6 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a...

Bài 8 trang 40 Toán 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r)...

Bài 9 trang 40 Toán 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân...

Bài 10 trang 40 Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r...