Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 9 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$.

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60^o. Tính diện tích tam giác SBC.

Lời giải:

a) Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân SAB, cạnh huyền $AB=a\sqrt{2}$.

Đường cao hình nón là

$h=SO=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Đường sinh

$l=SA\text{}=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a$

Bán kính: $r=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích xung quanh của hình nón:

$S_{xq}=\pi rl=\pi \frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$

Diện tích toàn phần;

$S_{tp}=S_{xq}+\text{}{S}_{day}=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\pi r^2$

Thể tích hình nón:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\frac{a\sqrt{2}}{2} \\ =\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{12} \end{gathered}$$

b) Gọi M là trung điểm của BC nên OM $\perp$ BC tại M (tam giác OBC cân tại O).

Ta có:

$$\begin{gathered} SO\perp BC;OM\perp BC \\ \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Rightarrow BC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\perp mp\left(SMO\right) \\ \Rightarrow BC\perp SM\left(1\right) \end{gathered}$$

Vì 2 mp (SMO) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến là SM  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: góc giữa 2 mp (SMO) và (SBC) là $\widehat{SMO}={60}^0$ 

Xét tam giác SMO có:

$$\begin{gathered} SO=SM.\sin \widehat{SMO} \\ \Rightarrow SM=\frac{SO}{\sin \widehat{SMO}} \\ =\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sin 60°}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} OM=SO.\cot \widehat{SMO}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\cot 60° \\ =\frac{a\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

+ Xét tam giác OBM vuông tại M có:

$$\begin{gathered} BM=\sqrt{O{B}^2-O{M}^2} \\ =\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)}^2}=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Suy ra: BC = 2 BM $=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác SBC là :

$S=\frac{1}{2}SM.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 31 Toán lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay...

Hoạt động 2 trang 35 Toán lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh...

Hoạt động 3 trang 38 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P)...

Bài 2 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay...

Bài 3 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm...

Bài 4 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm...

Bài 5 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm...

Bài 6 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a...

Bài 7 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r...

Bài 8 trang 40 Toán 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r)...

Bài 10 trang 40 Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r...