Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 3 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

a) Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{20}^2\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{25}^2}=\sqrt{1025}$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

$S=\pi rl=\pi \mathrm{.25.}\sqrt{1025}\approx 800,39\pi c{m}^2$.

b) Ta có: thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}.\pi {25}^2.20=\frac{12500\pi }{3}c{m}^3$.

c) Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.

Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)

Gọi M là trung điểm của AC.

Ta có: AC$\perp HM;AC\perp SH$

Suy ra: $AC\perp mp\left(SHM\right)$

Suy ra: $\left(SAC\right)\perp \left(SHM\right)$ và 2 mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là SM.

Trong mp(SHM) kẻ HI vuông góc SM.

Suy ra: $HI\perp \left(SAC\right)$

Do đó, d(H; (SAC)) = HI = 12

Trong tam giác vuông SHM ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{1}{H{M}^2}\\ \hspace{0.17em}\Rightarrow \frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{H{I}^2}-\frac{1}{S{H}^2}\\ \Rightarrow \frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{{12}^2}-\frac{1}{{20}^2}=\frac{1}{225}\\ \hspace{0.17em}\Rightarrow HM=15\end{array}$

Trong tam giác vuông HAM ta có:

AM² = HA² – HM² = 25² – 15² = 400

nên AM = 20 (cm)

Ta có: $\sin \widehat{HSM}=\frac{HM}{SM}=\frac{HI}{SH}$

Suy ra: $SM=\frac{HM.SH}{HI}=\frac{15.20}{12}=25$

Do đó, diện tích thiết diện SAC là:

$S_{SAC}=\frac{1}{2}AC.SM=AM.SM=20.25=500c{m}^2$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 31 Toán lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay...

Hoạt động 2 trang 35 Toán lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh...

Hoạt động 3 trang 38 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P)...

Bài 2 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay...

Bài 4 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm...

Bài 5 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm...

Bài 6 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a...

Bài 7 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r...

Bài 8 trang 40 Toán 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r)...

Bài 9 trang 40 Toán 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân...

Bài 10 trang 40 Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r...