Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 10 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Lời giải:

Gọi O, O' là tâm đường tròn đáy của hình trụ.

Gọi CC₁ và DD₁ là hai đường sinh của khối trụ.

Suy ra: D₁C₁  song song và bằng DC (vì tứ giác CC₁D₁D là hình bình hành).  (1)

Vì ABCD là hình vuông nên AB song song và bằng DC  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AB song song và bằng D₁C₁.

Suy ra, tứ giác ABC₁D₁ là hình bình hành.

Mặt khác ABC₁D₁ nội tiếp đường tròn (O) nên ABC₁D₁ là hình chữ nhật (vì hình bình hành mà nội tiếp được đường tròn phải là hình chữ nhật).

Suy ra AC₁ là đường kính của (O).

Suy ra: AC₁ = 2r.

Tam giác ABC₁ vuông ở B nên:

$B{C}_1^2=A{C}_1^2-\text{}A{B}^2=4r^2-A{B}^2\left(3\right)$

Vì tam giác BCC₁ vuông ở C₁ nên:

$B{C}_1^2=B{C}^2-C{C}_1^2=A{B}^2-r^2\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra:

4r² – AB² = AB² – r² nên $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

Vậy diện tích hình vuông ABCD là

S = $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

+ Gọi  là góc hợp bởi mp(ABCD) và mp đáy của hình trụ.

Ta có: S = S_ABCD = $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

S’ = $S_{AB{C}_1{D}_1}$ = AB. BC₁

Với $B{C}_1=\sqrt{A{C}_1^2-A{B}^2}=\sqrt{{\left(2r\right)}^2-\frac{5r^2}{2}}=r\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\Rightarrow S\text{'}=\frac{r\sqrt{10}}{2}.r\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{r^2}{2}.\sqrt{15}$

Mà ABC₁D₁ là hình chiếu của ABCD trên mặt đáy của hình trụ nên:

$$\begin{gathered} S\text{'}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}S.c\text{os}\alpha \\ \Rightarrow \text{ cos}\alpha \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{S\text{'}}{S}=\frac{r^2\sqrt{15}}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{5r^2}{2} \\ =\frac{\sqrt{15}}{5} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 31 Toán lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay...

Hoạt động 2 trang 35 Toán lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh...

Hoạt động 3 trang 38 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

Bài 1 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P)...

Bài 2 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay...

Bài 3 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm...

Bài 4 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm...

Bài 5 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm...

Bài 6 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a...

Bài 7 trang 39 Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r...

Bài 8 trang 40 Toán 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r)...

Bài 9 trang 40 Toán 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân...