Các vectơ khác vectơ – không, cùng phương (tọa độ tỉ lệ) với $\overrightarrow{u}$ thì đều là VTCP của đường thẳng ∆.

Ta có: $\frac{-3}{3}=\frac{5}{-5};\frac{-3}{-6}=\frac{5}{10};\frac{-3}{-1}=\frac{5}{\frac{5}{3}};\frac{-3}{5}\ne \frac{5}{3}$

Do đó vectơ ở phương án D không phải là VTCP của $∆$.

Hướng dẫn:

Đường thẳng ∆ có hệ số góc k  = 4 nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;4\right)$. Do đó C là phương án đúng.

Chú ý. Học sinh có thể nhầm sang các loại phương trình khác của đường thẳng như các phương án ở A và B. Đây đều là phương trình của đường thẳng nhưng không là phương trình tham số.

Hai đường thẳng song song khi $\frac{m}{3}=\frac{2}{-4}\ne -\frac{3}{2} nên m= -\frac{3}{2}$

Chọn đáp án C.

Hai đường thẳng lần lượt có các vectơ chỉ phương là $u_1=\left(1;3\right)$ và $u_2=\left(-1;2\right)$ nên ta có $\cos \left(d_1 , d_2\right)= \left|\cos \left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(-1\right)+3.2\right|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Do đó góc giữa hai đường thẳng là $\alpha =45°$. Đáp án là phương án B.

Sử dụng công thức khoảng cách ta có

$\frac{\left|3.\left(-2\right)-4.1+2\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|m\left(-2\right)+3.1-3\right|}{\sqrt{m^2+3^2}}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{8}{5}=\frac{\left|-2m\right|}{\sqrt{m^2+9}}\iff 8\sqrt{m^2+9}=10\left|m\right|\\ \iff 64(m^2+9)=100m^2\iff 64m^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}576=100m^2\\ \iff 36m^2=576\iff m^2=16\iff m=\pm 4\end{array}$

Đáp án là phương án C.

Chú ý. Học sinh có thể thử lại các phương án được đưa ra để chọn đáp án đúng, tuy nhiên sẽ tốn nhiều thời gian hơn là làm bài toán trực tiếp.

Tọa độ M là trung điểm của BC là: $\left\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{1+\text{}5}{2}=3\\ y_M=\frac{4+(-2)}{2}=1\end{array}\right.\Rightarrow M(3;1)$

Trung tuyến AM qua điểm A(-2; 3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}=\left(5;-2\right)$ ⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;5\right)$⇒ phương trình của AM là 2(x + 2) + 5(y – 3) = 0

Hay 2x +  5y -11= 0

Đáp án là phương án B.

Bằng việc lần lượt giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có tọa độ các đỉnh của tam giác là $A\left(-\frac{4}{7};\frac{16}{7}\right), B\left(-\frac{10}{11};\frac{14}{11}\right), C\left(-8;6\right)$  .

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:$S=\frac{1}{2}.d\left(A, BC\right). BC=\frac{1}{2}\frac{\left|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2\right|}{\sqrt{13}}.\sqrt{{\left(-8+\frac{10}{11}\right)}^2+{\left(6-\frac{14}{11}\right)}^2}=\frac{338}{77}$

Đáp án là phương án C.

Nếu $\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$ là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng thì $k\overrightarrow{n}$ (với k ≠ 0) đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Vì thế có vô số vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN A

Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì $k\overrightarrow{u}$ (với k ≠ 0) đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Vì vậy các vectơ có tọa độ tỉ lệ với $\overrightarrow{u}\left(2;-3\right)$ đều là vectơ chỉ phương.

Ta có:  $\frac{2}{3}\ne \frac{-3}{2};\frac{2}{-2}=\frac{-3}{3};\frac{2}{6}=\frac{-3}{-9};\frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}$

Do đó, trong các vecto đã cho có $\overrightarrow{u_1}$không phải là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆.

ĐÁP ÁN C

Gọi $\overrightarrow{u};\overrightarrow{n}$ lần lượt là vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$

Ta có:  2. 3 + (-3).2 =0

Do đó,  vecto $\overrightarrow{n_3}(3;2)$là vecto  pháp tuyến của đường thẳng.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng ∆ có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=-2+5t\\ y=3-2t\end{array}\right.$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(5;-2\right)$.

Các vectơ có tọa độ tỉ lệ với $\overrightarrow{u}=\left(5;-2\right)$ đều là vectơ chỉ phương.

Ta thấy:  $\overrightarrow{u_4}=-2\overrightarrow{u}$nên $\overrightarrow{u_4}$là 1 vecto chỉ phương của đường thẳng $∆$.

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng ∆ có phương trình y = 4x – 2 ⟺ 4x – y – 2 = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}=\left(4;-1\right)$ 

ĐÁP ÁN B

Điểm nằm trên đường thẳng ∆ nếu tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng ứng với một giá trị t nào đó.

Ví dụ với điểm $M_1\left(-2;5\right)$ ta xét $\left\{\begin{array}{c}-2=-2+5t\\ 5=3-2t\end{array}\right.$ vô nghiệm nên $M_1\notin ∆$

* Xét điểm M2(3; 1) ta xét  hệ: $\left\{\begin{array}{c}3=-2+5t\\ 1=3-2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}t=1\\ t=1\end{array}\right.\iff t=1$

Do đó điểm M2( 3, 1)  có thuộc đường thẳng ∆.

Đường thẳng ∆ có phương trình 3x – 4y + 2 = 0.

Ta thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta được:

 * 3.2 - 4. 2 + 2  = 0 nên điểm M1 thuộc đường  thẳng

* 3. 3 – 4.(-4) + 2 = 27 nên điểm M2 không thuộc đường thẳng.

* 3.(-2) – 4. (-1) + 2= 0 nên điểm M3 thuộc đường thẳng.

* $3.0-4.\frac{1}{2}+\text{}2=0$ nên điểm M3 thuộc đường thẳng.

Chọn B.

Phương trình tham số tùy thuộc vào điểm được chọn trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Mà 1 đường  thẳng có vô số điểm  và có vô số vecto chỉ  phương nên có vô số phương trình tham số của đường thẳng.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến$\overrightarrow{n}=\left(b;-a\right)$ nên phương trình của đường thẳng là:

$b\left(x-x_0\right)-a\left(y-y_0\right)=0$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN D

Phương trình đường thẳng đi qua $M (x0; y0)$, có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$là:

$a. (x- x0) + b ( y – y0 )= 0$

ĐÁP ÁN B

Phương trình tham số của  đường thẳng đi qua M (3; 4) và vecto chỉ phương  $\overrightarrow{u}(3;\text{\hspace{0.33em}}4)$  là:

$\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}3t\\ y=4+4t\end{array}\right.(t\in R)$

ĐÁP ÁN C

Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1;-2)$là:

1( x-  3) – 2 ( y - 4 ) = 0

ĐÁP ÁN C

Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 2x – y + 3= 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:

2x  - y +  c= 0 $(c\ne 3)\text{}$

Do đường thẳng ∆ đi qua  M( 3; 4) nên ta có:

 2. 3 -  4 + c =0 $\iff c=-2$

Vậy phương trình của ∆ là  2x – y – 2 = 0

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng 2x – y + 3 = 0 có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}\text{\hspace{0.33em}}(2;-1)$

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3=0 nên đường  thẳng ∆ nhận vecto  $\overrightarrow{n}\text{\hspace{0.33em}}(2;-1)$ làm vecto chỉ phương, nên 1 vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ là :  $\overrightarrow{n_{\Delta }}\text{\hspace{0.33em}}(1;2)$

Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua $M_1\left(3;4\right)$ và vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là

(x – 3) + 2(y – 4) = 0 ⟺ x + 2y – 11 = 0 

ĐÁP ÁN C

Đường thẳng ∆ đi qua M(-1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(4;-2\right)$ ⇒ vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là :

(x + 1) + 2(y – 3) = 0 ⟺ x + 2y – 5 = 0.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$ ⇒ ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$ hoặc các vectơ khác vectơ – không mà cùng phương với nó.

 Ta chỉ quan tâm đến phương án B và D. Kiểm tra tiếp hai điểm $M_1\left(3;4\right), M_2\left(1;-1\right)$ xem điểm nào nằm trên ∆. Ta có $M_1\in ∆, M_2\notin ∆$

Vậy phương trình  tham số  của đường thẳng ∆:$\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=4+\text{}2t\end{array}\right.$

Chú ý. Do phương trình tham số của đường thẳng là không duy nhất nên ta sẽ đi kiểm tra các phương án trả lời được đưa ra thay cho việc tiến hành viết phương trình tham số của đường thẳng.

ĐÁP ÁN A

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)= -2 \left(2;1\right)$

 ⇒ ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là:

  (x – 3) – 2(y – 4) = 0 ⟺ x – 2y + 5 = 0.

ĐÁP ÁN B

Gọi M là trung điểm của AB. Tọa độ M là:$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3+(-1)}{2}=1\\ y=\frac{4+2}{2}=3\end{array}\Rightarrow M(1;3)\right.$

Đường thẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm M(1;3) của đoạn AB và có vectơ pháp truyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)= -2\left(2;1\right)$ nên phương trình trung trực là:

 2(x – 1) + (y – 3) = 0 ⟺ 2x + y – 5 = 0

ĐÁP ÁN C

Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)$.

 Phương trình đường thẳng là (x – 3) – (y – 2) = 0 ⟺ x – y – 1 = 0.

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng đã cho có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$= 3(1; 1) nên phương trình đường thẳng là:

(x – 3) + (y – 2) = 0 ⟺ x + y – 5 = 0

Đường thẳng d có VTPT $\overrightarrow{n_d}(2;-3)$

Gọi đường thẳng ∆ thỏa mãn có VTPT  $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)$

 Vì góc giữa hai đường thẳng bằng 60⁰ nên:

$\begin{array}{l}{\text{cos 60}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{2^2+{(-3)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{2}=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=2.\left|2a-3b\right|\\ \iff 13(a^2+\text{}{b}^2)=4(4a^2-12ab+\text{}9b^2)\\ \iff -3a^2+\text{}48ab-23b^2=0\iff -3{\left(\frac{a}{b}\right)}^2+\text{}48.\frac{a}{b}-23=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(*)\end{array}$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm ta tìm được 1 cặp số (a, b) là VTPT của đường thẳng ∆. Từ đó, ta viết được 2 phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn. 

ĐÁP ÁN C

ĐÁP ÁN C

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)(a^2+\text{}{b}^2>0)$

Đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n_d}(1;-1)$

Để đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc 45⁰ nên ta có:

$\begin{array}{l}{\text{cos 45}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|1.a-1.b\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=\left|a-b\right|\\ \iff a^2+\text{}{b}^2=a^2-2ab+\text{}{b}^2\iff 2ab=0\iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ b=0\end{array}\right.\end{array}$

 * Nếu a = 0 thì chọn b = 1 .  Đường thẳng ∆ nhận vecto (0; 1) làm  VTPT và qua A( 1;3) nên có

 phương trình là 0 (x- 1) + 1( y – 3) = 0 hay y – 3 = 0.

 * Nếu b = 0 thì chọn a =1. Đường thẳng ∆ nhận vecto (1; 0) làm  VTPT và qua A(1;3) nên có

 phương trình là 1 (x- 1) + 0( y – 3) = 0 hay x= 1

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là:  y – 3 =0 và x = 1

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng qua A và tạo với d1d2 các góc bằng nhau khi vuông góc với phân giác của góc tạo bởi d1d2.

Do vậy số lượng đường thẳng cần tìm là 2.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng d₁ có VTPT $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$

Đường thẳng d₂ có VTPT là $\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2)$

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ được xác định bởi:

${\text{cos (d}}_1;d_2)=\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+\text{}{b}_1{b}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}.\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}$

ĐÁP ÁN B

Xét hai đường thẳng d1 :  $y = k_{1}x + m_1$   và d2: $y = k_2 x + m_2$.

Gọi $\beta$ là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: $\tan \beta =k_1$

Gọi $\phi$ là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: tan$\phi$=$k_2$

Ta có: $\alpha =\left|\beta -\phi \right|$. do đó 

 Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi: $\tan \alpha =\left|\tan \left(\beta -\phi \right)\right|=\left|\frac{\tan \beta -\tan \phi }{1+\tan \beta \tan \phi }\right|=\left|\frac{k_1-\text{}{k}_2}{1+\text{}{k}_1.k_2}\right|$

ĐÁP ÁN A

Đường thẳng d1 có VTPT  $\overrightarrow{n_1}(\text{}2;-3)$

Đường thẳng d2 có VTPT $\overrightarrow{n_2}(\text{}3;1)$

Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

$\text{cos }\alpha =\frac{\left|2.3+\text{}(-3).1\right|}{\sqrt{2^2+\text{}{(-3)}^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{130}}$

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng d₁ có VTPT  $\overrightarrow{n_1}(\text{}1;3)$

Đường thẳng d₂ có VTPT $\overrightarrow{n_2}(\text{}2;-1)$

Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

$\text{cos }\alpha =\frac{\left|1.2+\text{}3.(-1)\right|}{\sqrt{1^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{3}^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Lại có;${\sin }^2\alpha +\text{}c{\text{os}}^2\alpha =1\iff {\sin }^2\alpha =1-c{\text{os}}^2\alpha =1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}$

Do  $0^0<\text{}\alpha <\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{90}^0\text{}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\text{\hspace{0.33em}}\frac{7}{5\sqrt{2}}$

Đường thẳng d1 có hệ số góc k1 = 3

Đường thẳng d2 có hệ số góc k2 = -4

Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng đã cho được xác định bởi:

$\tan \alpha =\left|\frac{k{}_1-k_2}{1+\text{}{k}_1.k_2}\right|=\left|\frac{3-(-4)}{1+\text{}3.(-4)}\right|=\frac{7}{11}$

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN D

Khoảng cách từ A đến ∆ là : $d(A;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta )=\frac{\left|a.x_0+\text{}b{y}_0+\text{}c\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}$

ĐÁP ÁN C

$d(A;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta )=\frac{\left|a.x_0+\text{}b{y}_0+\text{}c\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{13}{5}$

Khi 2 đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ 1điểm bất kì nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Ta có: điểm $A\left(0;\frac{-c}{b}\right)\in d_1$

Vì d1 song song d2  nên:

 $d(d_1;d_2)=d(A;d_2)=\frac{\left|a.0+b.\frac{-c}{b}+\text{}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}=\frac{\left|-c+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}=\frac{\left|c-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}$

ĐÁP ÁN A

Ta có $d_2:3x-2y+1=0 \iff 6x-4y+2=0$ 

Ta có điểm A(-1; -1) thuộc đường thẳng d2,.

Vì hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên ta có:

$d(d_1;d_2)=d(A;d_1)=\frac{\left|6.(-1)-4.(-1)+5\right|}{\sqrt{6^2+{(-4)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{52}}$

ĐÁP ÁN D

Cho 2 đường thẳng cắt nhau $d1: a_1 x + b_{1}y + c_1 =0 và d2 : a_{2}x + b_{2}y + c_2= 0.$

Lấy điểm  M(x, y) bất kì trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1; d2_.

Theo tính  chất  đường  phân giác của góc ta có:

$\begin{array}{l}d(M;d_1)=d(M;d_2)\iff \frac{\left|a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1\right|}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\frac{\left|a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2\right|}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}\\ \iff \frac{a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}\end{array}$

ĐÁP ÁN B

Cho 2 đường thẳng cắt nhau $d1: a_1 x + b_{1}y + c_1 =0 và d2 : a_{2}x + b_{2}y + c_2= 0.$

Khi đó, phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng là:

$\frac{a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}$

Áp dụng công thức ta có phương trình hai phân giác là:

$\begin{array}{l}\frac{3x-4y+\text{}1}{\sqrt{3^2+\text{}{(-4)}^2}}=\pm \frac{x+3}{\sqrt{1^2+0^2}}\iff \frac{3x-4y+\text{}1}{5}=\pm (x+\text{}3)\\ \iff 3x-4y+1=\pm 5\left(x\text{}+\text{}3\right)\iff \left[\begin{array}{c}2x+\text{}4y+\text{}14=0\\ 8x-4y+\text{}16=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}x+2y+\text{}7=0\\ 2x-y+\text{}4=0\end{array}\right.\end{array}$

ĐÁP ÁN C

Do các đường thẳng đôi một cắt nhau tại các điểm A, B, C nên các điểm cách đều các cạnh gồm tâm đường tròn nội tiếp và ba tâm đường tròn bàng tiếp.

Vậy có tất cả 4 điểm  M cách đều ba đường thẳng đã cho.

đáp án D

ĐÁP ÁN B

Do d1 song song với d3 nên những điểm cách đều chúng nằm trên đường thẳng ∆ song song cách đều d1;d3.

Gọi khoảng cách hai đường thẳng d1, d3 là a > 0.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng ∆ và d1; ∆ và d3 là a/2  

Trên đường thẳng ∆ có hai điểm A, B  thỏa mãn $d\left(A,d_2\right)=d\left(B,d_2\right)=\frac{a}{2}$

Khi đó, hai điểm A, B là hai điểm cần tìm

Số điểm M cách đề ba đường thẳng là 2.

ĐÁP ÁN A

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với ∆ là

$R=d\left(A, ∆\right)=\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{13}{5}$

ĐÁP ÁN C

Ta có: $\frac{6}{2}=\frac{-3}{-1}\ne \frac{4}{3}$  nên d1 // d2.

Ta có: $d_2^{}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-y+\text{}3=0\iff 6x-3y+\text{}9=0$

 Do d1 // d2. nên khoảng cách hai đường thẳng d₁và d₂ chính là đường kính của đường tròn.

 Suy ra, bán kính đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1;d2 là

$R=\frac{1}{2}d\left(d_1,d_2\right)=\frac{1}{2}\frac{\left|9-4\right|}{\sqrt{6^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$

Ta có, AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{c}x-3y-1=0\\ 5x-2y+1=0\end{array}\right.\Rightarrow A\left(-\frac{5}{13};-\frac{6}{13}\right)$

Đường thẳng BC có VTPT $\overrightarrow{n_{BC}}(1;3)$.

 Vì $AH\text{}\perp BC\text{}$ nên đường thẳng AH nhận vecto $\overrightarrow{n_{BC}}(1;3)$làm VTCP, một VTPT của AH là: $\overrightarrow{n_{AH}}(3;-1)$

Phương trình đường cao AH của tam giác là:

$3\left(x+\frac{5}{13}\right)-\left(y+\frac{6}{13}\right)=0\iff 39x-13y+9=0$

ĐÁP ÁN B

Trung điểm M của BC có tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1+3}{2}=2\\ y=\frac{-4+\text{}6}{2}=1\end{array}\right.\Rightarrow M\text{}(2;1)$

Đường thẳng AM qua A(5;2) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MA}=\left(3;1\right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$.

 Phương trình AM là (x – 5) – 3(y – 2) = 0 ⟺ x – 3y + 1 = 0.

ĐÁP ÁN A

* Gọi tọa độ A( a; 0) và B(0; b).

Vì OA = OB nên $\left|a\right|=\left|b\right|\iff \left[\begin{array}{c}a=b\\ a=-b\end{array}\right.$

* Trường hợp 1: Nếu a= b.

Phương trình đoạn chắn AB là: $\frac{x}{a}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{a}=1\iff x+y=a$

Mà điểm M (8; 5) thuộc đường thẳng AB nên: 8 + 5 = 13

Vậy phương  trình đường thẳng AB là : x + y = 13  hay x + y – 13 = 0

* Trường hợp 2: Nếu a= -b

Phương trình đoạn chắn AB  là:  $\frac{x}{a}-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{a}=1\iff x-y=a$

Mà điểm M (8; 5) thuộc đường thẳng AB nên: 8 - 5 = 3

Vậy phương  trình đường thẳng AB là : x - y = 3  hay  x- y -  3= 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn.

ĐÁP ÁN C

Ta có: $\frac{\sqrt{3}+\text{}1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3-\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$                     

Do đó, hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

Chú ý. Ta có thể kiểm tra hai đường thẳng đã cho không vuông góc.

ĐÁP ÁN C

Để hai đường thẳng song song thì:

$\begin{array}{l}\frac{m}{2}=\frac{2m-2}{3}\ne \frac{-m+\text{}6}{1}\\ \iff \left\{\begin{array}{c}\frac{m}{2}=\frac{2m-2}{3}\\ \frac{m}{2}\ne \frac{-m+\text{}6}{1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3m=4m-4\\ m\ne -2m+12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=4\\ m\ne 4\end{array}\right.\end{array}$