30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài Ôn tập Chương 3 - Nguyên hàm

Tính $I = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ bằng cách đặt $u = \sqrt{x^{2} + 1}$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Đặt $u = \sqrt{x^{2} + 1}$

$\Rightarrow u^{2} = x^{2} + 1$

$\Rightarrow 2 u d u = 2 x d x$ .

$\Rightarrow I = \int 2 u . u . d u$

$= 2 \int u^{2} d u$

Câu 6:

Cho $I = \int_{0}^{3} |x - 2| d x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $|x - 2| = \{\begin{cases} x - 2, x \geq 2 \\ - (x - 2), x < 2 \end{cases}$

Suy ra: $I = \int_{0}^{3} | x - 2 | d x$

$= - \int_{0}^{2} (x - 2) d x + \int_{2}^{3} (x - 2) d x$ .

Vậy $I = - \int_{0}^{2} (x - 2) d x + \int_{2}^{3} (x - 2) d x$

Câu 7:

22/07/2024

Hàm số $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

$\Rightarrow F^{'} (x) = f (x)$

Ta có $F^{'} (x) = {(\frac{x^{3}}{3} - \cos x)}^{'}$

$= x^{2} + \sin x$

Câu 8:

Tìm ∫ ${(2 x + 1)}^{5} d x$ ta được

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int {(2 x + 1)}^{5} d x = \frac{1}{2} \int {(2 x + 1)}^{5} d (2 x + 1)$

$= \frac{{(2 x + 1)}^{6}}{12} + C$

Câu 9:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ với là x ≠ 0

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int f (x) d x = \int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x$

$= \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$

Câu 10:

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ , x≠0 là

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int (\frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}) d x = \int (2 x^{2} + \frac{3}{x^{2}}) d x$

$= \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3}{x} + C$

Câu 11:

15/07/2024

Biết $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - x + 1} d x = \frac{πa}{b \sqrt{3}}$ . Với là các số nguyên và $\frac{a}{b}$ tối giản. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. a+b>10

B. a+b<5

C. a+b<6

D. a+b>8

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - x + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}} d x$

Đặt $x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan t$ .

$\Rightarrow d x = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\cos^{2} t} d t$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = - \frac{π}{6}$

$x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - x + 1} d x$

$= \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{\frac{3}{4} (t a n^{2} t + 1)} \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{1}{\cos^{2} t} d t$

$= {\frac{2}{\sqrt{3}} t|}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} = \frac{2 π}{3 \sqrt{3}}$

$\Rightarrow a = 2, b = 3$

Câu 12:

21/07/2024

Cho đồ thị hàm số như hình vẽ bên.

Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Theo hình vẽ, ta có $S = \int_{- 2}^{3} |f (x)| d x$

$= - \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x$

$= \int_{0}^{- 2} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x$ .

Câu 13:

Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^{3}, y = 2 - x$ và trục hoành Ox (như hình vẽ) được tính bởi công thức nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Xét các phương trình hoành độ giao điểm

+) $x^{3} = 2 - x$

$\Leftrightarrow x^{3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

+) $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

+) $2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2.$

Dựa vào hình vẽ, ta có

$S = \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{1}^{2} (2 - x) d x$

$= \frac{1}{2} + \int_{0}^{1} x^{3} d x .$

Câu 14:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(1 \leq x \leq 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và $\sqrt{3 x^{2} - 2}$ .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) là $S (x) = 3 x \sqrt{3 x^{2} - 2}$ .

Suy ra thể tích cần tính

$V = \int_{1}^{3} S (x) d x = \int_{1}^{3} 3 x \sqrt{3 x^{2} - 2} d x$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \sqrt{3 x^{2} - 2} d (3 x^{2} - 2)$

$= \frac{1}{3} {(3 x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}} |_{1}^{3} = \frac{124}{3} .$

Câu 15:

Tìm $\int \sin 3 x d x$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$\int \sin 3 x . d x = \frac{1}{3} \int \sin 3 x d (3 x)$

$= \frac{- 1}{3} c os 3 x + C$

Câu 16:

22/07/2024

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Biết F(1) =2. Giá trị của là $F (\frac{e + 1}{2})$

A. $\frac{3}{2}$

B. 3

C. $- \frac{3}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

$= \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C (C \in ℝ)$

$F (1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy $F (x) = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + 2$

Do đó, $F (\frac{e + 1}{2}) = \frac{5}{2}$ .

Câu 17:

Giả sử là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

Câu 18:

Cho các số thực a,b(a<b). Nếu hàm số y =F(x) là một nguyên hàm của hàm số y =f(x) thì

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Theo giả thiết $y = F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f (x)$ nên ta có $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b}$ $= F (b) - F (a)$

Câu 19:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f (x) + x f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$ . Giá trị $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{5}{3}$

B. $\frac{10}{9}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{10}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Theo đề $f (x) + x f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$

Xét $A = \int_{0}^{1} x f (x^{2}) . d x$ . Đặt $t = x^{2} \Rightarrow d t = 2 x . d x$

Đổi cận:

x	0	1
t	0	1

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) . d t$ $= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) . d x$

Từ đó:

$\int_{0}^{1} f (x) . d x + \int_{0}^{1} x f (x^{2}) . d x$

$= \int_{0}^{1} (2 x^{2} + 1) . d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) . d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) . d x = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} \int_{0}^{1} f (x) . d x = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) . d x = \frac{10}{9}$

Câu 20:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = 2 x - x^{2}$ và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$2 x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2. \end{array}$

Thể tích cần tính là:

$V = π \int_{0}^{2} {(2 x - x^{2})}^{2} d x$

$= π (\frac{4 x^{3}}{3} - x^{4} + \frac{x^{5}}{5}) |_{0}^{2}$

$= \frac{16 π}{15} .$

Câu 21:

Để tính ∫xln(2+x)dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (x + 2) \\ d v = x d x \end{cases}$

Câu 22:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b) được tính theo công thức

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ , $(a < b)$ được tính theo công thức $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$ .

Câu 23:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [3;4]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng , . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: $V = π \int_{3}^{4} f^{2} (x) d x$

Câu 24:

Hàm số $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt $t = \sqrt{x + 1}$

$\Rightarrow x = t^{2} - 1$ $\Rightarrow 2 t d t = d x$ .

$\int x \sqrt{x + 1} d x = \int (2 t^{4} - 2 t^{2}) d t$

$= \frac{2}{5} t^{5} - \frac{2}{3} t^{3} + C$

$= \frac{2}{5} {(\sqrt{x + 1})}^{5} - \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C .$

Vì $F (0) = 2$ nên $C = \frac{34}{15}$ .

Vậy $F (3) = \frac{2}{5} {.2}^{5} - \frac{2}{3} {.2}^{3} + \frac{34}{15}$

$= \frac{146}{15}$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ trên đoạn $[- 2; 1]$ và lần lượt bằng 9 và 12. Cho $f (1) = 3.$ Giá trị của biểu thức $f (- 2) + f (4)$ bằng

A. 21

B. 9

C. 3

D. -3

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x) \Rightarrow f^{'} (x) \leq 0$ trên mỗi đoạn $[- 2; 1]$ và $[1; 4] .$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ trên đoạn $[- 2; 1]$ là:

$S_{1} = \int_{- 2}^{1} |f^{'} (x)| d x$

$= - \int_{- 2}^{1} f^{'} (x) d x = f (- 2) - f (1)$

$\Rightarrow f (- 2) - f (1) = 9$

$\Rightarrow f (- 2) = 9 + f (1) = 12.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ trên đoạn [1;4] là

$S_{2} = \int_{1}^{4} |f^{'} (x)| d x$

$= - \int_{1}^{4} f^{'} (x) d x = f (1) - f (4)$

$\Rightarrow f (1) - f (4) = 12$

$\Rightarrow f (4) = f (1) - 12 = - 9.$

Vậy $f (- 2) + f (4) = 12 - 9 = 3$

Câu 26:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{\ln x + e^{\ln x}}{x} d x = e^{a} - b$ , giá trị của a + 2b bằng

A. 3.

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{5}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Đặt $t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x$

Đổi cận $x = 1 \Rightarrow t = 0$

$x = e \Rightarrow t = 1$

Ta có $I = \int_{0}^{1} (t + e^{t}) d t = e - \frac{1}{2}$ . Suy ra a = 1 và $b = \frac{1}{2}$ . Tính được a + 2b = 2.

Câu 27:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $f (x) + f (- x) = \cos^{4} x \forall x \in R$ . Giá trị của biểu thức $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ là

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Đặt $x = - t \Rightarrow d x = - d t$ .

Đổi cận $x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = - \frac{π}{2}$

$x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{2}$

Ta có $I = \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d (- t)$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t$ $= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} x d x$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{8} \cos 4 x) d x$

$= \frac{3 π}{8}$

$\Rightarrow I = \frac{3 π}{16}$

Câu 28:

Lý thuyết Tích phân (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Cho hàm số đa thức bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0) có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành.

A. 6

B. $\frac{19}{4}$

C. $\frac{27}{4}$

D. 8

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải.

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt và tiếp xúc trục hoành lần lượt tại tại điểm (-2;0) và (1;0) nên hàm số có dạng $y = f (x) = a (x + 2) {(x - 1)}^{2}$

$= a (x^{3} - 3 x + 2)$

Mặt khác đồ thị hàm số lại đi qua điểm (-1;4) nên ta có $a = 1$ .

Vậy $y = f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ và trục hoành là:

$S = \int_{- 2}^{1} |x^{3} - 3 x + 2| d x = \frac{27}{4}$

Câu 29:

20/11/2024

Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao $B C = 6 m$ , chiều dài $C D = 12 m$ (hình vẽ bên). Cho biết $M N E F$ là hình chữ nhật có $M N = 4 m$ ; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ $m^{2}$ . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng.

B. 20.600.000 đồng.

C. 20.800.000 đồng.

D. 21.200.000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lời giải

Gọi O là trung điểm MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh $I (0; 6)$ và đi qua hai điểm $C (6; 0), D (- 6; 0)$ là $(P) : y = 6 = \frac{1}{6} x^{2}$

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol (P) trục Ox và hai đường thẳng $x = - 2, x = 2$ . Khi đó

$S = \int_{- 2}^{2} |6 - \frac{1}{6} x^{2}| d x$

$= \int_{- 2}^{2} (6 - \frac{1}{6} x^{2}) d x$

$= \frac{208}{9} (m^{2})$

Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là

$T = 900.000. \frac{208}{9}$

$= 20.800.000$ (đồng)

*Phương pháp giải:

Bước1:Viết phương trình parabol đi qua 2 điểm C và D

Bước2:Tính diện tích bức tranh giới hạn bởi Parabol và 2 đường thẳng x=2;x=-2

Bước3: Tính số tiền cần để làm bức tranh

*Lý thuyết:

Dựa vào các dữ kiện đề bài ta suy ra các yếu tố sau:

Parabol có tiêu điểm là F $(\frac{p}{2}; 0)$ và đường chuẩn Δ: $x = - \frac{p}{2} .$

Từ đó tìm được p, thay vào phương trình chính tắc của parabol là y² = 2px (p > 0).

1. Khái niệm tích phân

* Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số:

F(b) - F(a)

Được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu:

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a; b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

* Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b là:

2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

Xem thêm

Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón (2024) chính xác nhất

Câu 30: