Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$f\left(x\right)=\frac{\sin 2x}{1+\cos x}$

$=\frac{2\sin x.\cos x}{1+\cos x}$

Đặt $u=1+\cos x$$\Rightarrow \text{d}u=-\sin x\text{d}x$ và $\cos x=u-1$.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x+1\\ \text{d}v=\sin 2x\text{d}x\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=\text{d}x\\ v=-\frac{1}{2}\text{cos2}x\end{array}\right.$

Khi đó:

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int \frac{\text{d}x}{x}=\ln x+C$.

B. $\int x^{\alpha }\text{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\alpha \ne -1$.

C. $\int a^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

D. $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\tan x+C$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int \frac{\text{d}x}{x}=\ln \left|x\right|+C$ nên đáp án A sai.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Đặt $u=\sqrt{x^2+1}$

$\Rightarrow u^2=x^2+1$

$\Rightarrow 2u\text{d}u=2x\text{d}x$.

$\Rightarrow I=\int 2u.u.\text{d}u$

$=2\int u^2\text{d}u$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{l}x-2,x\ge 2\\ -\left(x-2\right),x<2\end{array}\right.$

Suy ra: $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}|x-2|\text{d}x$

$=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$.

Vậy $I=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

$\Rightarrow F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Ta có $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x^3}{3}-\cos x\right)}^{\text{'}}$

$=x^2+\sin x$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int {\left(2x+1\right)}^5\text{d}x=\frac{1}{2}\int {\left(2x+1\right)}^5\text{d}\left(2x+1\right)$

$=\frac{{\left(2x+1\right)}^6}{12}+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)\text{d}x$

$=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int \left(\frac{2x^4+3}{x^2}\right)\text{d}x=\int \left(2x^2+\frac{3}{x^2}\right)\text{d}x$

$=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2-x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}dx$

Đặt $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan t$ .

$\Rightarrow dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{6}$

$x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2-x+1}dx$

$=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1}{\frac{3}{4}(ta{n}^{2}t+1)}\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1}{\frac{3}{4}(ta{n}^{2}t+1)}\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$={\left.\frac{2}{\sqrt{3}}t\right|}_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a=2,b=3$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Theo hình vẽ, ta có $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

$=\underset{0}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Xét các phương trình hoành độ giao điểm

+) $x^3=2-x$

$\iff x^3+x-2=0\iff x=1.$

+) $x^3=0\iff x=0$

+) $2-x=0\iff x=2.$

Dựa vào hình vẽ, ta có

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2-x)\text{d}x$

$=\frac{1}{2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x.$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) là $S\left(x\right)=3x\sqrt{3x^2-2}$.

Suy ra thể tích cần tính

$V=\underset{1}{\overset{3}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}3x\sqrt{3x^2-2}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}\sqrt{3x^2-2}\text{d}\left(3x^2-2\right)$

$=\frac{1}{3}{(3x^2-2)}^{\frac{3}{2}}{|}_1^3=\frac{124}{3}.$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$\int \sin 3x.\text{\hspace{0.17em}d}x=\frac{1}{3}\int \sin 3x\text{\hspace{0.17em}d}\left(3x\right)$

$=\frac{-1}{3}c\text{os}3x+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{1}{2x-1}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|+C\left(C\in ℝ\right)$

$F\left(1\right)=2\Rightarrow C=2$. Vậy $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|+2$

Do đó, $F\left(\frac{e+1}{2}\right)=\frac{5}{2}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=0$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Theo giả thiết $y=F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ nên ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)\left|{}_a^b\right.$ $=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Theo đề $f\left(x\right)+xf\left(x^2\right)=2x^2+1$

Xét $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right).dx$. Đặt $t=x^2\Rightarrow dt=2x.dx$

Đổi cận:

 $\Rightarrow A=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right).dt$ $=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx$

Từ đó: 

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right).dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2+1\right).dx$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{5}{3}$

$\iff \frac{3}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{5}{3}$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{10}{9}$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$2x-x^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2.\end{array}\right.$

Thể tích cần tính là: 

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x-x^2\right)}^2\text{d}x$

$=\pi \left(\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^2$

$=\frac{16\pi }{15}.$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+2\right)\\ \text{d}v=x\text{d}x\end{array}\right.$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Diện tích  của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, $\left(a<b\right)$ được tính theo công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: $V=\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt $t=\sqrt{x+1}$

$\Rightarrow x=t^2-1$$\Rightarrow 2t\text{d}t=\text{d}x$.

$\int x\sqrt{x+1}\text{d}x=\int \left(2t^4-2t^2\right)\text{d}t$

$=\frac{2}{5}{t}^5-\frac{2}{3}{t}^3+C$

$=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^5-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C.$

Vì $F\left(0\right)=2$ nên $C=\frac{34}{15}$.

Vậy $F\left(3\right)=\frac{2}{5}{.2}^5-\frac{2}{3}{.2}^3+\frac{34}{15}$

$=\frac{146}{15}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ trên mỗi đoạn $\left[-2;1\right]$ và $\left[1;4\right].$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$ là:

$S_1=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(-2\right)-f\left(1\right)$

$\Rightarrow f\left(-2\right)-f\left(1\right)=9$

$\Rightarrow f\left(-2\right)=9+f\left(1\right)=12.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ trên đoạn [1;4] là

$S_2=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(1\right)-f\left(4\right)$

$\Rightarrow f\left(1\right)-f\left(4\right)=12$

$\Rightarrow f\left(4\right)=f\left(1\right)-12=-9.$

Vậy $f\left(-2\right)+f\left(4\right)=12-9=3$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Đặt $t=\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x$

Đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$

$x=e\Rightarrow t=1$

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t+e^t)\text{d}t=e-\frac{1}{2}$. Suy ra a = 1 và $b=\frac{1}{2}$. Tính được a + 2b = 2.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Đặt $x=-t\Rightarrow \text{d}x=-\text{d}t$.

Đổi cận $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$

$x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$

Ta có $I=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{-\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-t)\text{d}(-t)$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-t)\text{d}t$$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-x)\text{d}x$

$\Rightarrow 2\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f\left(x\right)+f(-x)\right]\text{d}x$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{4}x\text{d}x$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x)\text{d}x$

$=\frac{3\pi }{8}$

$\Rightarrow I=\frac{3\pi }{16}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải.

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ cắt và tiếp xúc trục hoành lần lượt tại tại điểm (-2;0) và (1;0) nên hàm số có dạng $y=f\left(x\right)=a(x+2){(x-1)}^2$

$=a(x^3-3x+2)$  

Mặt khác đồ thị hàm số lại đi qua điểm (-1;4) nên ta có $a=1$.

 Vậy $y=f\left(x\right)=x^3-3x+2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục hoành là:

 $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x^3-3x+2\right|\text{d}x=\frac{27}{4}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Gọi O là trung điểm MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh $I(0;6)$ và đi qua hai điểm $C\left(6;0\right),D\left(-6;0\right)$  là $\left(P\right):y=6=\frac{1}{6}{x}^2$  

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol (P)  trục Ox và hai đường thẳng $x=-2,x=2$ . Khi đó

$S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|6-\frac{1}{6}{x}^2\right|\text{d}x$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(6-\frac{1}{6}{x}^2\right)\text{d}x$

$=\frac{208}{9}\left(m^2\right)$

Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là

 $T=\mathrm{900.000.}\frac{208}{9}$

$=\mathrm{20.800.000}$(đồng)

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, OH  thuộc Oy, Ox vuông góc với OH tại O chiều dương hướng từ A đến B.  Khi đó ta có $B\left(\frac{5}{2};4\right)$. Giả sử parabol (P) đi qua  $O,A,B$ nhận O làm đỉnh có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

Dễ dàng ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}O\in \left(P\right)\\ \frac{-b}{2a}=0\\ B\in \left(P\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=0\\ a=\frac{16}{25}\end{array}\right.$

Do đó: $y=\frac{16}{25}{x}^2$.

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn các đường $y=\frac{16}{25}{x}^2,y=4,$$x=\frac{-5}{2},x=\frac{5}{2}$ là $S_1$

Khi đó ta có: $S_1=\underset{-2,5}{\overset{2,5}{\int }}\left(4-\frac{16}{25}{x}^2\right)\text{d}x$

$={\left.\left(4x-\frac{16}{75}{x}^3\right)\right|}_{-2.5}^{2,5}=\frac{40}{3}$

Do đó diện tích hình hoa văn là: $S={10}^2-\frac{40}{3}.4$

$=\frac{140}{3}\left(c{m}^2\right).$