Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2+3x+2}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\text{d}x$

$=\left(\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$

$=\left(\ln 2-\ln 3\right)-\left(\ln 1-\ln 2\right)$

$=2\ln 2-\ln 3$

Vậy $a=2;b=-1$

$\Rightarrow a+b=1$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Đặt  $\Rightarrow x=\frac{u^2-1}{2}\Rightarrow dx=udu$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=1$

$x=4\Rightarrow u=3$.

Do đó $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}u{e}^{u}du$.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

$=f\left(x\right)\left|\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right.$

$=f\left(3\right)-f\left(-1\right)$

$=2-\left(-2\right)=4$

Vậy $I=4$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x={\left.f\left(x\right)\right|}_0^1$

$=f\left(1\right)-f\left(0\right)$

Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=5$

$\iff f\left(1\right)-f\left(0\right)=5$

$\iff f\left(1\right)=f\left(0\right)+5=7$

Vậy $f\left(1\right)=7$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=1$

$\iff \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)\text{\hspace{0.17em}d}\left(2x\right)=1$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=2$

Đặt $\sin \frac{\pi }{2}=1$ .

Vậy $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(\sin x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=2$.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Đặt $x^2+2x=t$

$\Rightarrow (2x+2)\text{d}x=\text{d}t$

$\Rightarrow (x+1)\text{d}x=\frac{\text{d}t}{2}$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;$

$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x=1\Rightarrow t=3$

Khi đó :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x^2+2x}\text{d}x$

3∫0etdt

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{3x+1}{3x^2+x\ln x}\text{d}x$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{3+\frac{1}{x}}{3x+\ln x}\text{d}x$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{3x+\ln x}\text{d}\left(3x+\ln x\right)$

$={\left.\ln \left|3x+\ln x\right|\right|}_1^2$

$=\ln \left(2+\frac{\ln 2}{3}\right)$

Suy ra $a=2,b=2,c=3$.

Vậy $a+b+c=7.$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Xét tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(2x^2+1\right)\text{d}x=2$.

Đặt $t=2x^2+1$

$\Rightarrow \text{dt}=4x.\text{d}x$

$\Rightarrow x.\text{d}x=\frac{1}{4}\text{dt}$.

Đổi cận:

Với $x=0\Rightarrow t=1$.

Với $x=2\Rightarrow t=9$.

Khi đó $2=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(2x^2+1\right)\text{d}x$

$=\frac{1}{4}\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t$.

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên $\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=8$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Theo tính chất của tích phân thì A, B, D đúng, C sai.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có  $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x$

$=4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\text{d}x$

$=4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-3$

Theo bài ra: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x=1$

$\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-3=1$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$ .

Vậy $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\Rightarrow 5\underset{a}{\overset{c}{= \int }}f\left(x\right)dx+2$

$\Rightarrow \underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx=3$

Vậy $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx=3$.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{5}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

Suy ra: $\underset{5}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

$=9-6=3$.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\text{[}2+f\left(x\right)\text{]}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

$={(2x\left.)\right|}_1^2+{(x^2\left.)\right|}_1^2=2+3=5$

Vậy $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\text{[}2+f\left(x\right)\text{]}dx=5$.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{d}x=13$

$\iff 2.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=13$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=13-2.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=13-2.5$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=3$

Vậy $\underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=3$.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d}\left(f\left(x\right)\right)$

$=x.f\left(x\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

$=2f\left(2\right)-3$

$=2.3-3=3$

Vậy $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=3$.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ \text{d}v=\left(4x-1\right)\text{d}x\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=\frac{1}{x}\text{d}x\\ v=2x^2-x=x\left(2x-1\right)\end{array}\right.$

Ta có:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(4x-1\right)\ln x\text{d}x$

$={\left.x\left(2x-1\right)\ln x\right|}_1^2-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2x-1\right)\text{d}x$

$=6\ln 2-{\left.\left(x^2-x\right)\right|}_1^2$

$=6\ln 2-2$.

Vậy $2a+b=10$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt: $v=f\left(x\right)$.

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x+1\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=10$

$\iff \left(2x+1\right)f\left(x\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=10$

$\iff 3f\left(1\right)-f\left(0\right)-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=10$

$\iff 12-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=10$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$I=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{x^2-2x-3}{(x-1)\left(x^2-x+4\right)}\text{d}x$

$=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2x-1}{x^2-x+4}-\frac{1}{x-1}\right)\text{d}x$

$=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{d\left(x^2-x+4\right)}{x^2-x+4}\text{d}x-\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{dx}{x-1}\text{d}x$

$={\left.\ln \left|x^2-x+4\right|\right|}_2^3-{\left.\ln (x-1)\right|}_2^3$

$=-\ln 2-\ln 3+\ln 5$

Như vậy, $a=-1,b=-1,c=1$

Vậy $S=2a-3b+8c=9$.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{1+\tan x}\text{d}x$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\left(\sin x+\cos x\right)+\left(\cos x-\sin x\right)}{\sin x+\cos x}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\text{d}\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x+\cos x}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(x+\ln \left|\sin x+\cos x\right|\right)\left|\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{}}\right.$

$=\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{4}\ln 2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{8}\\ b=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $f\left(x\right)=\int \text{cos}2x.{\sin }^{3}x\text{d}x$

$=\int \left(2{\text{cos}}^{2}x-1\right)\left(1-{\text{cos}}^{2}x\right)\sin x\text{d}x$

Đặt $t=\text{cos}x$

$\Rightarrow \text{d}t=-\sin x\text{d}x$

Khi đó: $\int \left(2{\text{cos}}^{2}x-1\right)\left(1-{\text{cos}}^{2}x\right)\sin x\text{d}x$

$=-\int \left(2t^2-1\right)\left(1-t^2\right)\text{d}t$

$=\int \left(2t^4-3t^2+1\right)\text{d}t$

$=\frac{2}{5}{t}^5-t^3+t+C$

$=\frac{2}{5}{\text{cos}}^{5}x-{\text{cos}}^{3}x+\text{cos}x+C$

Suy ra:

$f\left(x\right)=\frac{2}{5}{\text{cos}}^{5}x-{\text{cos}}^{3}x+\text{cos}x+C$

Mà $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0\iff C=0$

Do đó

$f\left(x\right)=\frac{2}{5}{\text{cos}}^{5}x-{\text{cos}}^{3}x+\text{cos}x$

$=\text{cos}x\left(\frac{2}{5}{\text{cos}}^{4}x-{\text{cos}}^{2}x+1\right)$

$=\text{cos}x\left[\frac{2}{5}{\left(1-{\text{sin}}^{2}x\right)}^2+{\text{sin}}^{2}x\right]$

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}f\left(x\right)\text{ d}x$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\text{cos}x\left[\frac{2}{5}{\left(1-{\text{sin}}^{2}x\right)}^2+{\text{sin}}^{2}x\right]\text{d}x$

Đặt $t=\sin x\Rightarrow \text{d}t=\text{cos}x\text{d}x$

Đổi cận

$\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$I=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left[\frac{2}{5}{\left(1-t^2\right)}^2+t^2\right]\text{d}t$

$=\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(2t^4+t^2+2\right)\text{d}t$

$=\frac{1}{5}{\left.\left(\frac{2}{5}{t}^5+\frac{1}{3}{t}^3+2t\right)\right|}_0^{\frac{1}{2}}$

Đáp án A

$I=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(2\text{x}+1\right)\text{d}x$

$={({}^{}+x)|}_{-1}^0=0$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{3x-1}\text{d}x=\frac{1}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{3x-1}\text{d}\left(3x-1\right)$

(e5−e2)

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{e^x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{-x}dx$

∣∣12

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$\underset{0}{\overset{2020}{\int }}{5}^x\text{d}x={\left.\frac{5^x}{\ln 5}\right|}_0^{2020}$