24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Tích phân

Cho $a, b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a−2b=−5

B. a+b=1

C. a+2b=4

D. a−2b=5

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3 x + 2}$

$= \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x + 1) (x + 2)}$

$= \int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) d x$

$= (\ln |x + 1| - \ln |x + 2|) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}$

$= (\ln 2 - \ln 3) - (\ln 1 - \ln 2)$

$= 2 \ln 2 - \ln 3$

Vậy $a = 2; b = - 1$

$\Rightarrow a + b = 1$

Câu 2:

17/07/2024

Xét tích phân $u = \sqrt{2 x + 1}$ thì I bằng

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\Rightarrow x = \frac{u^{2} - 1}{2} \Rightarrow d x = u d u$ .

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 1$

$x = 4 \Rightarrow u = 3$ .

Do đó $I = \int_{1}^{3} u e^{u} d u$ .

Câu 3:

Cho hàm số $I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x$

A. -4

B. 0

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x$

$= f (x) |\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}$

$= f (3) - f (- 1)$

$= 2 - (- 2) = 4$

Vậy $I = 4$ .

Câu 4:

Nếu hàm số $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x = 5$ thì

A. f(1)=7

B. f(1)=10

C. f(1)=−3

D. f(1)=3

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{0}^{1}$

$= f (1) - f (0)$

Suy ra $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x = 5$

$\Leftrightarrow f (1) - f (0) = 5$

$\Leftrightarrow f (1) = f (0) + 5 = 7$

Vậy $f (1) = 7$ .

Câu 5:

Cho f(sinx)dx

A. 2

B. 1

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d (2 x) = 1$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (t) d t = 2$

Đặt $\sin \frac{π}{2} = 1$ .

Vậy $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . f (\sin x) d x$

$= \int_{0}^{1} f (t) d t = 2$ .

Câu 6:

Xét $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Đặt $x^{2} + 2 x = t$

$\Rightarrow (2 x + 2) d x = d t$

$\Rightarrow (x + 1) d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0;$

$x = 1 \Rightarrow t = 3$

Khi đó :

$\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

3∫0etdt

Câu 7:

Biết $a + b + c$ bằng

A. 7.

B. 6.

C. 8.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$\int_{1}^{2} \frac{3 x + 1}{3 x^{2} + x \ln x} d x$

$= \int_{1}^{2} \frac{3 + \frac{1}{x}}{3 x + \ln x} d x$

$= \int_{1}^{2} \frac{1}{3 x + \ln x} d (3 x + \ln x)$

$= {\ln |3 x + \ln x||}_{1}^{2}$

$= \ln (2 + \frac{\ln 2}{3})$

Suy ra $a = 2, b = 2, c = 3$ .

Vậy $a + b + c = 7.$

Câu 8:

21/07/2024

Cho hàm số $I = \int_{1}^{9} f (x) d x$ có giá trị

A. 8

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Xét tích phân $\int_{0}^{2} x . f (2 x^{2} + 1) d x = 2$ .

Đặt $t = 2 x^{2} + 1$

$\Rightarrow dt = 4 x . d x$

$\Rightarrow x . d x = \frac{1}{4} dt$ .

Đổi cận:

Với $x = 0 \Rightarrow t = 1$ .

Với $x = 2 \Rightarrow t = 9$ .

Khi đó $2 = \int_{0}^{2} x . f (2 x^{2} + 1) d x$

$= \frac{1}{4} \int_{1}^{9} f (t) d t$ .

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên $\int_{1}^{9} f (x) d x = 8$

Câu 9:

19/07/2024

Với hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên $[a; b]$ , k là một hằng số thực, khẳng định nào sau đây sai ?

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Theo tính chất của tích phân thì A, B, D đúng, C sai.

Câu 10:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x$

A. -3.

B. -1.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x$

$= 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{1}^{2} x d x$

$= 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 3$

Theo bài ra: $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1$

$\Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 3 = 1$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ .

Vậy $\int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ .

Câu 11:

11/07/2024

Cho

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

$\Rightarrow 5 {= \int}_{a}^{c} f (x) d x + 2$

$\Rightarrow \int_{a}^{c} f (x) d x = 3$

Vậy $\int_{a}^{c} f (x) d x = 3$ .

Câu 12:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $I = \int_{5}^{8} f (x) d x$

A. 4.

B. -3

C. 15

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\int_{0}^{8} f (x) d x = \int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{8} f (x) d x$

Suy ra: $\int_{5}^{8} f (x) d x = \int_{0}^{8} f (x) d x - \int_{0}^{5} f (x) d x$

$= 9 - 6 = 3$ .

Câu 13:

Biết $ℝ$ . Giá trị của bằng

A. $\frac{7}{3}$

B. 3

C. $\frac{13}{3}$

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{1}^{2} [2 + f (x)] d x = \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= {(2 x)|}_{1}^{2} + {(x^{2})|}_{1}^{2} = 2 + 3 = 5$

Vậy $\int_{1}^{2} [2 + f (x)] d x = 5$ .

Câu 14:

17/07/2024

Nếu $\int_{1}^{2} g (x) d x$ bằng

A. -3

B. -1

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $\int_{1}^{2} [2 f (x) + g (x)] d x = 13$

$\Leftrightarrow 2. \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{1}^{2} g (x) d x = 13$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} g (x) d x = 13 - 2. \int_{1}^{2} f (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} g (x) d x = 13 - 2.5$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} g (x) d x = 3$

Vậy $\int_{1}^{2} g (x) d x = 3$ .

Câu 15:

Cho hàm số $\int_{0}^{2} x . f^{'} (x) d x$ bằng

A. 6

B. 3

C. -3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $I = \int_{0}^{2} x . f^{'} (x) d x$

$= \int_{0}^{2} x d (f (x))$

$= x . f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{2} f (x) d x$

$= 2 f (2) - 3$

$= 2.3 - 3 = 3$

Vậy $\int_{0}^{2} x . f^{'} (x) d x = 3$ .

Câu 16:

Biết tích phân $2 a + b$ bằng

A. 5.

B. 8.

C. 10.

D. 13

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = (4 x - 1) d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = 2 x^{2} - x = x (2 x - 1) \end{cases}$

Ta có:

$\int_{1}^{2} (4 x - 1) \ln x d x$

$= {x (2 x - 1) \ln x|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (2 x - 1) d x$

$= 6 \ln 2 - {(x^{2} - x)|}_{1}^{2}$

$= 6 \ln 2 - 2$ .

Vậy $2 a + b = 10$ .

Câu 17:

Cho hàm số

A. 1

B. -2

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Đặt: $v = f (x)$ .

Ta có: $\int_{0}^{1} (2 x + 1) f^{'} (x) d x = 10$

$\Leftrightarrow (2 x + 1) f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 10$

$\Leftrightarrow 3 f (1) - f (0) - 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 10$

$\Leftrightarrow 12 - 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 10$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 1$

Câu 18:

Biết rằng $S = 2 a - 3 b + 8 c$

A. S=9

B. S=−9

C. S=8

D. S=−8

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$I = \int_{2}^{3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x - 1) (x^{2} - x + 4)} d x$

$= \int_{2}^{3} (\frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 4} - \frac{1}{x - 1}) d x$

$= \int_{2}^{3} \frac{d (x^{2} - x + 4)}{x^{2} - x + 4} d x - \int_{2}^{3} \frac{d x}{x - 1} d x$

$= {\ln |x^{2} - x + 4||}_{2}^{3} - {\ln (x - 1)|}_{2}^{3}$

$= - \ln 2 - \ln 3 + \ln 5$

Như vậy, $a = - 1, b = - 1, c = 1$

Vậy $S = 2 a - 3 b + 8 c = 9$ .

Câu 19:

19/07/2024

Biết $\frac{a}{b}$ .

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + \tan x} d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{(\sin x + \cos x) + (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} d x$

$= \frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x})$

$= \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) |_{0}^{\frac{π}{4}}$

$= \frac{1}{8} π + \frac{1}{4} \ln 2$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{8} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$

Câu 20:

Cho hàm số $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có $f (x) = \int cos 2 x . \sin^{3} x d x$

$= \int (2 {cos}^{2} x - 1) (1 - {cos}^{2} x) \sin x d x$

Đặt $t = cos x$

$\Rightarrow d t = - \sin x d x$

Khi đó: $\int (2 {cos}^{2} x - 1) (1 - {cos}^{2} x) \sin x d x$

$= - \int (2 t^{2} - 1) (1 - t^{2}) d t$

$= \int (2 t^{4} - 3 t^{2} + 1) d t$

$= \frac{2}{5} t^{5} - t^{3} + t + C$

$= \frac{2}{5} {cos}^{5} x - {cos}^{3} x + cos x + C$

Suy ra:

$f (x) = \frac{2}{5} {cos}^{5} x - {cos}^{3} x + cos x + C$

Mà $f (\frac{π}{2}) = 0 \Leftrightarrow C = 0$

Do đó

$f (x) = \frac{2}{5} {cos}^{5} x - {cos}^{3} x + cos x$

$= cos x (\frac{2}{5} {cos}^{4} x - {cos}^{2} x + 1)$

$= cos x [\frac{2}{5} {(1 - {sin}^{2} x)}^{2} + {sin}^{2} x]$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{6}} cos x [\frac{2}{5} {(1 - {sin}^{2} x)}^{2} + {sin}^{2} x] d x$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = cos x d x$

Đổi cận

$\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{π}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

$I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} [\frac{2}{5} {(1 - t^{2})}^{2} + t^{2}] d t$

$= \frac{1}{5} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (2 t^{4} + t^{2} + 2) d t$

$= \frac{1}{5} {(\frac{2}{5} t^{5} + \frac{1}{3} t^{3} + 2 t)|}_{0}^{\frac{1}{2}}$

Câu 21:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{0} (2 x + 1) d x$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$I = \int_{- 1}^{0} (2 x + 1) d x$

$= {(x^{2} + x)|}_{- 1}^{0} = 0$

Câu 22:

11/07/2024

Tích phân $\int_{1}^{2} e^{3 x - 1} d x$ bằng:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$\int_{1}^{2} e^{3 x - 1} d x = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} e^{3 x - 1} d (3 x - 1)$

(e5−e2)

Câu 23: