Cho tích phân $I={\int }_1^e\frac{\ln x+e^{\ln x}}{x}dx=e^a-b$, giá trị của a + 2b bằng

Cho hàm số đa thức bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0) có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)  và trục hoành.

Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao $BC=6m$, chiều dài $CD=12m$ (hình vẽ bên). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4m$; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I  là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/$m^2$. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB=3$cm, $OH=4$ cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin 2x}{1+\cos x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=0$. Tính F(0)

Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Để tính ∫xln(2+x)dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt

Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ bên.

Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây?

Giả sử  là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?

Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^3,y=2-x$ và trục hoành Ox (như hình vẽ) được tính bởi công thức nào dưới đây?

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(1\le x\le 3\right)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(x+1).\sin 2x$

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f\left(x\right)+xf\left(x^2\right)=2x^2+1$. Giá trị ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=2x-x^2$ và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và  $f\left(x\right)+f(-x)={\cos }^{4}x\forall x\in R$ . Giá trị của biểu thức $I={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$ là

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$. Biết F(1) =2. Giá trị của là $F\left(\frac{e+1}{2}\right)$