Chọn C.

Chọn C.

Xếp bạn Chi luôn ngồi chính giữa: có 1 cách.

Xếp bốn bạn còn lại vào bốn vị trí còn lại: có 4!$4!$ cách.

Vậy: có 1.4! = 24 cách.

Chọn C.

Lấy ngẫu nhiên (đồng thời) hai thẻ trong chín thẻ có: $C_9^2=36$ cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $C_9^2=36$

Chọn D.

Số các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $A_5^3=60$ số.

Vậy có: 60 số cần tìm.

Đáp án đúng C.

*Lời giải:      

Coi 4 nữ sinh là X .

Số cách sắp xếp X và nam sinh là $\mathrm{7!}$

Số cách sắp xếp 4 nữ sinh trong X là $\mathrm{4!}$

Số cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau: $7!.4!\; =\; 120960$

$*Phương\; pháp\; giải:$

• Gộp 3 bạn nữ thành 1 phần tử lớn tìm số cách xếp cho 4 vị trí
• số cách xếp 3 bạn nam vào 3 vị tí

$*Lý\; thuyến\; cần\; nắm\; về\; tổ\; hợp\; -\; xác\; suất$

• Định nghĩa

  Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ^*).

  Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

  1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

  2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

  3. Hoán vị:

  Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

  - Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

  - Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

  4. Chỉnh hợp:

  Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

  - Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

  - Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

  

  5. Tổ hợp:

  Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

  - Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

  Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

  

  6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

      (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

  7. Phép toán trên các biến cố:

  - Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

  Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

  - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

      + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

      + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

      + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

  8. Xác suất của biến cố:

  Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 

  trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

  9. Tính chất của xác suất:

  Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

      P(∅) = 0, P(Ω) = 1

      0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

      Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

      Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

      A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

  Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

  Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết 

  Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất 

  Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất 

Chọn C.

Chọn 3 thẻ chia hết cho 10 từ các số $\left\{10;20;30\right\}$ có $C_3^2$$C_3^2$ cách chọn.

Chọn 3 thẻ chẵn nhưng không chia hết cho 10 có $C_{12}^3$ cách chọn.

Chọn 5 thẻ lẻ có $C_{15}^5$

Suy ra có $3.C_{12}^3.C_{15}^5$ cách chọn số phần tử của A .

Chọn D.

Số cách chọn tam giác có đỉnh lấy từ các điểm trên là

$n\left(\Omega \right)=C_5^1{C}_8^2+C_5^2{C}_8^1=220$

A: Biến cố tam giác được chọn có đúng hai đỉnh màu xanh

Chọn B.

Chọn sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 có các khả năng sau.

TH1: Có 1 học sinh khối 10.

Số cách chọn trong trường hợp này là $C_8^1.C_{16}^9=91520.$

TH2: Có 2 học sinh khối 10.

Số cách chọn trong trường hợp này là $C_8^2.\left(C_{16}^8-2.C_8^8\right)=360304.$

Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có 

Chọn D.

Gọi $A_i$ với $i=1,2,3$ là các biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng bia.

Theo giả thiết, ta có 

Khi đó, xác suất để trong 3 xạ thủ có đúng 2 xạ thủ bắn trúng bia là

Chọn D.

Số hạng tổng quát của khai triển:

Chọn A.

Chọn C.

Cứ hai đội gặp nhau cho ta một trận đấu nên số trận đấu một lượt là $C_{20}^2.$

Số trận đấu hai lượt là $C_{20}^2.2=380$ trận.

Chọn C.

Chọn D.

Chọn D.

Chọn B.

Số cách bạn Minh chọn một quyển truyện cho bạn Sáng mượn là 4 cách.

Số cách bạn Minh chọn một quyển tạp chí cho bạn Sáng mượn là 6 cách.

Vậy bạn Minh có 4+6=10 cách chọn một quyển truyện hoặc một quyển tạp chí để cho bạn Sáng mượn.

Chọn C.

Số cách sắp xếp năm bạn thành một hàng ngang là các hoán vị của năm phần tử có 5! = 120  cách.

Chọn B.

Số tập con gồm 3 phần tử của M là số cách chọn 3 phần tử không phân biệt thứ tự từ 12 phần tử.

Vậy có $C_{12}^3.$ tập hợp.

Chọn C.

Chọn B.

Đáp án đúng là A.

Lời giải

Số cách sắp xếp 7 học sinh vào dãy ghế hang ngang có 7!

*Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết hoán vị P=n!

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ^*).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ: Từ 3 chữ số 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Ta có các số sau : 357 ; 375 ; 537 ; 573 ; 735 ; 753.

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 3, 5, 7.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có P_n = n . (n – 1) … 2.1

Quy ước : Tích 1.2…n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1 . 2 … n.

Như vậy P_n = n!.

Ví dụ: Có ba bạn học sinh Nam, Long, Vinh. Giáo viên muốn xếp ba bạn này vào 3 vị trí chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

Hướng dẫn giải

Xếp ba bạn Nam, Long, Vinh vào 3 vị trí chỗ ngồi là một hoán vị của 3 bạn.

Ta có P₃ = 3! = 1.2.3 = 6.

Vậy có 6 cách xếp 3 bạn Nam, Long, Vinh vào ba vị trí chỗ ngồi.

Xem thêm

Lý thuyết Tổ hợp chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

Chọn C. 

Đáp án đúng là  D.

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_6^3=20.$

Gọi A là biến cố lấy được ba viên bi có đủ ba màu.

*Phương pháp giải:

Bước 1: Liệt kê kết quả có thể xảy ra và viết không gian mẫu Ω.

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Bước 3: Tính xác suất

*Lý thuyết:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.

Ta có $C_{10}^5=\frac{10!}{(10-5)!5!}=252$

Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.

Sử dụng công thức xác suất cổ điển

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức.

P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$, trong đó n(Ω) và n(E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E.

Xem thêm

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Chọn C.

Số phần tử không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=6.6=36.$

Gọi A là biến cố hiệu số chấm xuất hiện của hai con súc sắc bằng 1.

Chọn B.

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử.

Số cách lấy mỗi hộp một viên bi: $\mathrm{10.10.10}=1000$(cách).

Suy ra, số phần tử của 

Gọi A là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 1 viên bi xanh”

Suy ra là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy được không có viên bi xanh”

Số cách lấy mỗi hộp một viên bi sao cho không có bi xanh: 8.8.8 = 512 (cách).

Chọn B.

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 14 đỉnh của đa giác

Gọi A là biến cố: "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vuông"

Chọn một đường chéo đi qua tâm, có 7 cách chọn.

Tương ứng với mỗi đường kính ấy, mỗi đỉnh còn lại sẽ tạo với đường kính một tam giác vuông. Khi đó, số tam giác vuông được tạo ra là

$7.C_{12}^1=84\Rightarrow n\left(A\right)=84.$

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án đúng là B.

Lời giải

Chọn 2 học sinh bất kì từ 10 học sinh có $C_{10}^2=45$ (cách chọn).

Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ có $C_4^2=6$ (cách chọn).

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$

*Phương pháp giải:

Tính không gian mẫu

Tính biến cố A

Tính xác suất

*Lý thuyết:

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Xem thêm

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Chọn C.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình thì số phần tử của không gian mẫu là $C_{12}^3=220.$

Gọi A là biến cố “được ít nhất hai viên bi xanh”.

Ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A là $C_8^2.C_4^1+C_8^3=168.$

Vậy xác suất của A là 

Chọn C.

Chọn 3 trong tổng số 12 học sinh: 

Trong 3 em được chọn có cả nam lẫn nữ, có cả học sinh giỏi toán và học sinh giỏi văn:

+ Chọn 1 toán nam, 2 văn nữ: 

+ Chọn 1 toán nam, 1 văn nam, 1 văn nữ: 

+ Chọn 2 toán nam, 1 văn nữ: 

Chọn C.

Hệ số của số hạng thứ 7 là hệ số lớn nhất bằng $C_{12}^6=924$