Vì $\widehat{\mathrm{AOD}}$ và $\widehat{\mathrm{DOA}\text{'}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{DOA}\text{'}}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=180°-\widehat{\mathrm{DOA}\text{'}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=180°-45°=135° \end{gathered}$$

Ta có: tia OB và tia OD nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA và $\widehat{\mathrm{AOB}}<\widehat{\mathrm{AOD}}$ (do $45°<135°$) nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OD

Do đó:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AOB}}+\widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{AOD}} \\ \Rightarrow 45°+\widehat{\mathrm{BOD}}=135° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BOD}}=135°-45°=90° \end{gathered}$$

Vì OC và OD là hai tia đối nhau nên $\widehat{\mathrm{COE}}$ và $\widehat{\mathrm{DOE}}$ là hai góc kề bù. Khi đó

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{COE}}+\widehat{\mathrm{DOE}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COE}}=180°-\widehat{\mathrm{DOE}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COE}}=180°-25°=135° \end{gathered}$$

Vì tia OC là phân giác của $\widehat{\mathrm{AOB}}$ nên $\widehat{\mathrm{BOC}}=\frac{\widehat{\mathrm{AOB}}}{2}=\frac{50°}{2}=25°$

Nhận thấy $\widehat{\mathrm{BOC}}+\widehat{\mathrm{COE}}=25°+155°=180°$ nên OB và OE là hai tia đối nhau

Suy ra $\widehat{\mathrm{BOC}}$ và $\widehat{\mathrm{DOE}}$ là hai góc đối đỉnh

Vì hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O nên Ox' là tia đối của tia Ox, Oy là tia đối của tia Oy'. Vậy góc đối đỉnh với $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ là $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}$

Vì góc xOy đối đỉnh với góc x'Oy' nên $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{\mathrm{xOy}}=120°$

Do đó $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}}=120°$

Ta có: $\widehat{\mathrm{zOt}}+\widehat{\mathrm{tOz}}=180°$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{\mathrm{tOz}\text{'}}=4.\widehat{\mathrm{tOz}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{zOt}}+4.\widehat{\mathrm{tOz}}=180°\Rightarrow 5.\widehat{\mathrm{tOz}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{tOz}}=36° \end{gathered}$$

Vì $\widehat{\mathrm{tOz}}$ và $\widehat{\mathrm{t}\text{'}\mathrm{Oz}\text{'}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}\text{'}}=\widehat{\mathrm{zOt}}=36°$

Hai góc đối đỉnh là hai góc có chung đỉnh và mỗi cạnh của góc này là tia đối của mỗi cạnh của góc kia.

Vì Ot là tia phân giác của góc xOx' nên

$\widehat{\mathrm{xOt}}=\widehat{\mathrm{xOt}\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{xOx}\text{'}}=\frac{1}{2}.124°=62°$

Vì Oy là tia đối của Ox, Ot' là tia đối của tia Ot

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{yOt}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOt}}=62°$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng xx' và yy' giao nhau tại O nên Ox' là tia đối của tia Ox; Oy' là tia đối của tia Oy

Suy ta $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{xOy}}$; $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}$ và $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ là hai cặp góc đối đỉnh

Do đó $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}}=45°$ và $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}=\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$

Lại có $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ là hai góc ở vị trí kề bù nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOy}}+\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=180°\Rightarrow 45°+\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=180°-45° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=135° \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}}=45°$ và $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}=\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=135°$

Suy ra A,B,C đúng, D sai

Ta có: $\widehat{\mathrm{zOt}}+\widehat{\mathrm{tOz}\text{'}}=180°$ (hai góc kề bù) mà $3.\widehat{\mathrm{tOz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{tOz}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 3.\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}}+\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}}=180° \\ \Rightarrow 4.\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}}=180°\Rightarrow \widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}}=45° \end{gathered}$$

Khi đó $3.\widehat{\mathrm{tOz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{tOz}}$

$\widehat{\mathrm{tOz}}=3.\widehat{\mathrm{tOz}\text{'}}=3.45°=135°$

Vì $\widehat{\mathrm{tOz}}$ và $\widehat{\mathrm{tOz}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{Ot}\text{'}}=\widehat{\mathrm{zOt}}=135°$

Vì góc DBC′ kề bù với góc DBC  nên BC′ là tia đối của tia BC.

Vì góc C′BD′ kề bù với góc DBC′ nên BD′ là tia đối của tia BD

Do đó, góc C′BD′ và góc DBC  đối đỉnh.

$\mathrm{\Rightarrow }\widehat{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{BD}\text{'}}=\widehat{\mathrm{DBC}}=62°$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì Ot là tia phân giác của góc xOx' nên

$\widehat{\mathrm{xOt}}=\widehat{\mathrm{xOt}\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{xOx}\text{'}}=\frac{1}{2}.70°=35°$

Vì Oy là tia đối của Ox, Ot' là tia đối của tia Ot

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{yOt}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOt}}=35°$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì $\widehat{\mathrm{AOD}}$ và $\widehat{\mathrm{AOC}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{AOC}}=180°$ mà $\widehat{\mathrm{AOC}}=3.\widehat{\mathrm{AOD}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 4.\widehat{\mathrm{AOD}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=180°:4=45° \end{gathered}$$

Do đó $\widehat{\mathrm{AOC}}=3.\widehat{\mathrm{AOD}}=3.45°=135°$

Vì hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O nên hai tia OA và OB là hai tia đối nhau, hai tia OD và OC là hai tia đối nhau

Do đó $\widehat{\mathrm{BOD}} \mathrm{và} \widehat{\mathrm{AOC}}$  là hai góc đối đỉnh ; $\widehat{\mathrm{AOD}} \mathrm{và} \widehat{\mathrm{BOC}}$  là hai góc đối đỉnh

Khi đó $\widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{AOC}}=135°$; $\widehat{\mathrm{BOC}}=\widehat{\mathrm{AOD}}=45°$

Vậy $\widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{AOC}}=135°$; $\widehat{\mathrm{BOC}}=\widehat{\mathrm{AOD}}=45°$

+ Hai góc AOC và BOD có: OA và OB  là hai tia đối nhau, OD  và OC không phải là hai tia đối nhau.

Vậy hai góc đó không phải là hai góc đối đỉnh.

+ Vì góc BOD và DOA  là hai góc kề bù nên:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{BOD}}=180° \\ \Rightarrow 50°+\widehat{\mathrm{AOD}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=180°-50°=130° \end{gathered}$$

Tia OA là tia phân giác góc COE nên $\widehat{\mathrm{AOE}}=\widehat{\mathrm{AOC}}=50°$

Tia OD và OE thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia OA nên tia OA nằm giữa hai tia OD và OE, ta có:

$\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{AOE}}=130°+50°$

Suy ra OD và OE là hai tia đối nhau

Hai góc BOD và DOA có hai cặp cạnh OB và OA, OD và OE là hai tia đối nhau nên là hai góc đối đỉnh

Vì AB và CD cắt nhau tại O nên OA và OB là hai tia đối nhau, OC và OD là hai tia đối nhau

Vì OM là tia phân giác  nên

$\widehat{\mathrm{AOM}}=\widehat{\mathrm{COM}}=\frac{\widehat{\mathrm{AOC}}}{2}=\frac{100°}{2}=50°$

Mà ON là tia đối của tia OM nên $\widehat{\mathrm{AOM}}$ và $\widehat{\mathrm{BON}}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat{\mathrm{COM}}$ và $\widehat{\mathrm{DON}}$ là hai góc đối đỉnh

Suy ra $\widehat{\mathrm{AOM}}=\widehat{\mathrm{BON}}=50°$; $\widehat{\mathrm{COM}}=\widehat{\mathrm{DON}}=50$

Hay $\widehat{\mathrm{BON}}=\widehat{\mathrm{DON}}=50°$

Vì $\widehat{\mathrm{AOD}}$ và $\widehat{\mathrm{AOC}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{AOC}}=180°$ mà $\widehat{\mathrm{AOC}}-\widehat{\mathrm{AOD}}=50°$

Nên $\widehat{\mathrm{AOC}}=\frac{180°+50°}{2}=115°$

$\widehat{\mathrm{AOD}}=180°-\widehat{\mathrm{AOC}}=180°-115°=65°$

Mà $\widehat{\mathrm{AOD}}$ và $\widehat{\mathrm{BOC}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\mathrm{BOC}}=\widehat{\mathrm{AOD}}=65°$

Lại có $\widehat{\mathrm{BOD}}$ và $\widehat{\mathrm{AOC}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{AOC}}=115°$

Vậy $\widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{AOC}}=115°$; $\widehat{\mathrm{BOC}}=\widehat{\mathrm{AOD}}=65°$

*Phương pháp giải:

+ Tính số đo góc AOC nhờ bài toán biết tổng và hiệu.

+ Sử dụng tính chất tia phân giác tính các góc AOM và COM

+ Sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh để suy ra hai góc BOC và AOD

*Lý thuyết:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

 Định nghĩa hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia. 

Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O như hình vẽ:

Khi đó ta có các cặp góc đối đỉnh: 

Tính chất

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Chú ý:

+ Mỗi góc chỉ có một góc đối đỉnh với nó.

+ Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.

Xem thêm