Nếu Ox và Ox' là hai đối nhau thì $\mathrm{xx}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$

Nếu Ox và Oy' là hai tia đôi nhau thì $\mathrm{xy}\text{'}\perp \mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}$

Vậy A, B đều đúng

Vì Ox',Oy' nằm giữa hai tia Ox, Oy nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}+\widehat{\mathrm{yOy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}+90°=150° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=60° \end{gathered}$$

Tương tự ta có: $\widehat{x\text{'}\mathrm{Oy}}=60°$

Sử dụng câu trước ta có: $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}=60°$

Ta có Om và On là tia phân giác của các góc xOy' và x'Oy nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOm}}=\frac{\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}}{2}=\frac{60°}{2}=30° \\ \widehat{\mathrm{nOy}}=\frac{\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}}{2}=\frac{60°}{2}=30° \end{gathered}$$

Lại có

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOm}}+\widehat{\mathrm{mOn}}+\widehat{\mathrm{nOy}}=\widehat{\mathrm{xOy}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOn}}=\widehat{\mathrm{xOy}}-\left(\widehat{\mathrm{xOm}}+\widehat{\mathrm{nOy}}\right) \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOn}}=150°-\left(30°+30°\right) \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOn}}=90° \end{gathered}$$

Vì OE là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{zOy}}$ nên $\widehat{\mathrm{zOE}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{zOy}}$ suy ra $\widehat{\mathrm{zOy}}=2.20°=40°$

Trên nửa mặt phẳng bờ Ox có $\widehat{\mathrm{xOz}}<\widehat{\mathrm{xOy}} \left(90°<\alpha \right)$ nêm tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOy}}=\widehat{\mathrm{xOz}}+\widehat{\mathrm{zOy}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}}=90°+40°=130° \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{\mathrm{xOy}}=130°$

Vì OC nằm giữa hai tia OA và OB nên $\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOC}}+30°=120°\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOC}}=90°$

Suy ra $\mathrm{OA}\perp \mathrm{OC}$

Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau.

Vì tia OD nằm trong $\widehat{\mathrm{AOB}}$ nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OB

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{DOB}}=\widehat{\mathrm{AOB}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}+90°=120° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=120°-90°=30° \left(1\right) \end{gathered}$$

Vì tia OC nằm trong $\widehat{\mathrm{AOB}}$ nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}} \\ \Rightarrow 90°+\widehat{\mathrm{COB}}=120° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COB}}=120°-90°=30° \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1)và (2) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOD}}=\widehat{\mathrm{BOC}}=30°$

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\widehat{\mathrm{AOD}}=\widehat{\mathrm{BOC}}=30°$

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có $\widehat{\mathrm{AOD}}<\widehat{\mathrm{AOC}} \left(30°<90°\right)$ nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OC

Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{AOC}} \\ \Rightarrow 30°+\widehat{\mathrm{COD}}=90° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COD}}=90°-30°=60° \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{\mathrm{COD}}=60°$

Gỉa sử $\widehat{\mathrm{AOD}}$ và $\widehat{\mathrm{DOB}}$ là hai góc kề bù, OE là tia phân giác $\widehat{\mathrm{DOB}}$ và OF là tia phân giác $\widehat{\mathrm{AOD}}$

Ta có: $\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{BOD}}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Vì OE là tia phân giác $\widehat{\mathrm{DOB}}$ nên

$\widehat{\mathrm{BOE}}=\widehat{\mathrm{EOD}}=\frac{\widehat{\mathrm{BOD}}}{2}$(1)

Vì OF là tia phân giác $\widehat{\mathrm{AOD}}$ nên

$\widehat{\mathrm{AOF}}=\widehat{\mathrm{DOF}}=\frac{\widehat{\mathrm{AOD}}}{2}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{DOF}}+\widehat{\mathrm{EOD}}=\frac{\widehat{\mathrm{AOD}}}{2}+\frac{\widehat{\mathrm{BOD}}}{2} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{AOD}}+\widehat{\mathrm{BOD}}}{2}=\frac{180°}{2}=90° \end{gathered}$$

Hay $\widehat{\mathrm{EOF}}=90°\Rightarrow \mathrm{OE}\perp \mathrm{OF}$.

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Ta có: $\widehat{\mathrm{xOA}}+\widehat{\mathrm{yOA}}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Vì Oz là phân giác $\widehat{\mathrm{xOA}}$ nên

$\widehat{\mathrm{xOz}}=\widehat{\mathrm{zOA}}=\frac{\widehat{\mathrm{xOA}}}{2}$ (1)

Vì Ot là phân giác $\widehat{\mathrm{yOA}}$ nên

$\widehat{\mathrm{AOt}}=\widehat{\mathrm{yOt}}=\frac{\widehat{\mathrm{yOA}}}{2}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{zOA}}+\widehat{\mathrm{yOt}}=\frac{\widehat{\mathrm{xOA}}}{2}+\frac{\widehat{\mathrm{yOA}}}{2} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{xOA}}+\widehat{\mathrm{yOA}}}{2}=\frac{180°}{2}=90° \end{gathered}$$

Hay $\widehat{\mathrm{zOt}}=90°$

Vì OC nằm giữa hai tia OA và OB nên $\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BOC}}+50°=140°\Rightarrow \widehat{\mathrm{BOC}}=90°$

Suy ra $\mathrm{OB}\perp \mathrm{OC}$

Vì OC nằm giữa hai tia OA và OB nên $\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOC}}+30°=120°\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOC}}=90°$

Suy ra $\mathrm{OA}\perp \mathrm{OC}$

Vì OC nằm giữa tia OA và OB nên:

$\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}}$ mà $\widehat{\mathrm{AOB}}=90°$ (đề bài)

$\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=90°$ (_*)

Mà $\widehat{\mathrm{AOC}}=\widehat{\mathrm{BOD}}$ (đề bài)

Nên từ (_*) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BOD}}+\widehat{\mathrm{COD}}=90°$(1)

Lại có tia OB nằm giữa tia OC và OD nên

$\widehat{\mathrm{BOD}}+\widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{COD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{COD}}=90°$

Vậy $\widehat{\mathrm{COD}}=90°$

Vì tia OC nằm trong $\widehat{\mathrm{AOB}}$ nên tia OC nằm giữa tia OA và OB ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{AOB}} \\ \Rightarrow 25°+\widehat{\mathrm{COB}}=90° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COB}}=90°-25°=65° \end{gathered}$$

Lại có OD nằm trên nửa mặt phẳng bờ OB không chưa tia OC nên tia OB nằm giữa hai tia OC và OD, ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BOD}}+\widehat{\mathrm{COB}}=\widehat{\mathrm{COD}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BOD}}=\widehat{\mathrm{COD}}-\widehat{\mathrm{COB}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BOD}}=90°-65°=25° \end{gathered}$$

Vì $\mathrm{OD}\perp \mathrm{OB}$ nên $\widehat{\mathrm{DOB}}=90°$

Vì OA và OC là hai tia đối nhau và tia OB nằm giữa OA và OD nên ta có:

$\widehat{DOA}= \widehat{DOB }+\widehat{AOB} ={90}^0+{30}^0={120}^0$

Vậy $\widehat{COD}={180}^0-\widehat{DOA}={180}^0-{120}^0={60}^0$

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOm}}+\widehat{\mathrm{mOy}}=\widehat{\mathrm{xOy}} \\ \Rightarrow 30°+\widehat{\mathrm{mOy}}=90° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOy}}=90°-30°=60° \end{gathered}$$

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có: $\widehat{\mathrm{nOy}}<\widehat{\mathrm{mOy}} \left(30°<60°\right)$

Suy ra tia On nằm giữa hai Om và Oy

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{nOy}}+\widehat{\mathrm{mOn}}=\widehat{\mathrm{mOy}} \\ \Rightarrow 30°+\widehat{\mathrm{mOn}}=60° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOn}}=60°-30°=30° \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{xOm}}=\widehat{\mathrm{mOn}}=30°$ và tia Om nằm giữa hai tia Ox và On

Vậy tia Om là tia phân giác của góc nOx.

Vì Ox',Oy' nằm giữa hai tia Ox, Oy nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}+\widehat{\mathrm{yOy}\text{'}}=\widehat{\mathrm{xOy}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}+90°=120° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}=30° \end{gathered}$$

Tương tự ta có: $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}=30°$

Ta có: Om và On là tia phân giác của các góc xOy' và x'Oy nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOm}}=\frac{\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}}{2}=15° \\ \widehat{\mathrm{nOy}}=\frac{\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}}{2}=15° \end{gathered}$$

Lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{xOm}}+\widehat{\mathrm{mOn}}+\widehat{\mathrm{nOy}}=\widehat{\mathrm{xOy}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{mOn}}=90°\Rightarrow \mathrm{Om}\perp \mathrm{On} \end{gathered}$$