Đáp án đúng là: A

Các hàm số tuần hoàn với chu kì π là y = tanx, y = cotx

Vậy có 2 hàm số tuần hoàn với chu kì π

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số y = cosx ta có:

f(x) = cosx

f(–x) = cos(–x) = cosx

Do đó, f(x) = f(–x)

Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Tập xác định của hàm số y = cosx là tập số thực $ℝ$

*Phương pháp giải:

- tìm điều kiện xác định cho hàm cosx 

* Lý thuyết và các dạng bài cần nắm thêm về hàm số lượng giác:

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ xác định khi $g\left(x\right)\ne 0$

$y=\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ge 0$

$y=\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

y = cot[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sin x\ne 0$ khi $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos x\ne 0$ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1;0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$ $0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$\begin{array}{l}m\ge f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\ge \underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m>f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m>\underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m\le f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\le \underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\\ m<f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m<\underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức 

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Đáp án đúng là: A

Tìm tập giá trị của hàm số y = cotx là $ℝ$

Phương pháp giải:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

* Kiến thức mở rộng

* Tập xác định của hàm số lượng giác

– Hàm số y = sin x, y = cos x xác định trên ℝ.

Khi đó, y = sin[u(x)], y = cos [u(x)] xác định khi và chỉ khi u(x) xác định.

– Hàm số y = tan x có tập xác định là .

Khi đó, y = tan [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

– Hàm số y = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Khi đó, y = cot [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) ≠kπ, k ∈ ℤ.

* Một số chú ý khi tìm điều kiện xác định:

– Hàm số $y=\sqrt{f\left(x\right)}$xác định khi f(x) ≥ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)}$ xác định khi f(x) ≠ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ xác định khi f(x) > 0.

– Một số trường hợp đặc biệt:  

$\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\sin x\ne \pm 1\iff x\ne \pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số $y=\cot \frac{x}{2}$ là:

$\sin \frac{x}{2}\ne 0\Rightarrow \frac{x}{2}\ne k\pi \Rightarrow x\ne k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số $y=\cot \frac{x}{2}$ là D = $ℝ\backslash \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$-1\le \cos 2x\le 1$

$\iff -2\le 2\cos 2x\le 2$

$\iff 1\le 2\cos 2x+3\le 5$

$\iff 1\le y\le 5$

Vậy M = 1, m = 5 và M + m = 1 + 5 = 6.

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa

Hàm số y = f(x) xác định trên D

    + Hàm số chẵn 

    + Hàm số lẻ 

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ

        Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng

        Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Kiểm tra

    Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

    Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).

    Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

    Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

    Nếu tồn tại một giá trị ∃ x₀ ∈ D mà f(-x₀ ) ≠ ± f(x₀) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

*Lời giải

Xét hàm số: y = cotx.sinx = $\frac{\cos x}{\sin x}\sin x$ = cosx (với sinx ≠ 0)

Ta có:

f(x) = cosx

f(–x) = cos(–x) = cosx

Do đó, f(x) = f(–x) nên hàm số y = cotx.sinx là hàm số chẵn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải

Đáp án đúng là: B

cosx = 1

$\iff \cos x=cos0$

$\iff x=k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Đáp án đúng là: D

sinx = sinα

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: A

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \cos x=cos\frac{\pi }{4}$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: D

tanx = tanα

$\iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Đáp án đúng là: C

$\cot x=cot\frac{\pi }{3}$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi$

Đáp án đúng là: D

$\cot x=-\sqrt{3}$

$\iff \cot x=\cot \frac{-\pi }{6}$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$

Đáp án đúng là: B

$\sin (x-10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin (x-10°)=\sin 60°$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-10°=60°+k360°\\ x-10°=120+k360°\end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=70°+k360°\\ x=130+k360°\end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Đáp án đúng: A

*Lời giải

Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên phương trình sinx =  m vô nghiệm khi chỉ khi $\left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.$

*Phương pháp giải

Nắm vững lý thuyết và cách giải bài toán phương trình lượng giác

*Một số lý thuyết nắm thêm về phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}\right.$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát: 

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: 

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+\text{\hspace{0.17em}}k{360}^0;k\in \mathbb{Z}$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}\right.$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a\text{\hspace{0.17em}}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Xem thêm các bài viết hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Toán 11 Bài 4 (Kết nối tri thức): Phương trình lượng giác cơ bản

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình cosx – 3 = 0 ta có:

cosx – 3 = 0

$\iff \cos x=3$

Mà $-1\le \cos x\le 1$ nên phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

 $-{\sin }^{2}x-4\sin x+3=0$

Đặt t = sinx với điều kiện $-1\le t\le 1$, phương trình trở thành:

$-t^2-4t+3=0$

$\iff t^2+4t-3=0$

Đáp án đúng là: C

${\sin }^{2}x+3\sin x-4=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=-4\left(L\right)\end{array}\right.$

$\iff \sin x=1$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{2}$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Đáp án đúng là: D

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff cos\frac{\pi }{3}\sin x-\sin \frac{\pi }{3}\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: C

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M’(x’; y’) là ảnh của điểm M(x; y) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=(a;b)$.

Ta có:

$\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}-x=a\\ y\text{'}-y=b\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}$

Ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{MN}$ là P .

Đáp án đúng là: B

Gọi M(x; y) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=(1;-2)$ 

Ta có:

$\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-1=1\\ y+3=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-5\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}(2;-5)$

Đáp án đúng là: D

Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=(-1;3)$ là đường thẳng d’ có phương trình dạng 3x + 2y + c = 0

Cho $M\left(\frac{4}{3};1\right)$ là điểm thuộc đường thẳng d

Ảnh M’(x; y) của M qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=(-1;3)$

Ta có: $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{3}=-1\\ y-1=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(\frac{1}{3};4\right)$

Mà M’ thuộc d’ nên ta có:

$3.\frac{1}{3}+2.4+c=0\Rightarrow c=-9$

Vậy phương trình của d’ là: 3x + 2y – 9 = 0

Đáp án đúng là: B

Phép quay $Q_{(O;\phi )}$ biến điểm M thành M’ nên ta có: $OM=OM\text{'}$ và $(OM,OM\text{'})=\phi$

Đáp án đúng là: C

Gọi A’(x; y) là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay $90°$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}(0;1)$

Đáp án đúng là: D

Phép quay $Q_{(O;\phi )}$ biến đường tròn (C) có bán kính R thành đường tròn (C’) có bán kính R’. Do Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Nên ta có: R = R’

Đáp án đúng là: C

Gọi M’(x; y) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay $-90°$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-(-3)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=3\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}(5;3)$

Đáp án đúng là: C

Ta thấy, phép quay tâm O góc quay $\frac{\pi }{2}$ biến điểm B thành điểm A, biến điểm C thành điểm B. Do đó, ảnh của tam giác OBC qua phép quay tâm O góc quay $\frac{\pi }{2}$ là tam giác OAB

Ta có: $y=\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{cos\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$

Điều kiện xác định của hàm số là:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\iff x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi$

$\iff x\ne -\frac{\pi }{3}+k\pi$

Vậy tập xác định của hàm số $y=\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ là $D=R\backslash \left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a) $\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}cos2x$

$\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x=cos2x$

$\iff cos\frac{\pi }{4}\sin 3x+\sin \frac{\pi }{4}\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

$\iff \sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}\right.$  với $k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$với $k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{20}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$  với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{\pi }{20}+k\frac{2\pi }{5};\frac{\pi }{4}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b)

$(2\sin x-\cos x)(1+\cos x)={\sin }^{2}x$

$\iff 2\sin x+2\sin x\cos x-\cos x-co{s}^{2}x={\sin }^{2}x$

$\iff 2\sin x+2\sin x\cos x-\cos x-co{s}^{2}x-{\sin }^{2}x=0$

$\iff \left(2\sin x+2\sin x\cos x\right)-\left(\cos x+co{s}^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=0$

$\iff \left(2\sin x+2\sin x\cos x\right)-\left(\cos x+co{s}^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=0$

$\iff 2\sin x\left(1+\cos x\right)-\left(\cos x+1\right)=0$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left(1+\cos x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2\sin x-1=0\\ 1+\cos x=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \cos x=-1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \cos x=cos\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.$ với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;\pi +k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Xét đường tròn (C): ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$ có tâm I(–3; 1) và bán kính R = $\sqrt{5}$

Gọi đường tròn (C’) có tâm I’(x; y), bán kính R’ = $\sqrt{5}$

Ta có: $\overrightarrow{II\text{'}}=\overrightarrow{v}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+3=2\\ y-1=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow I\text{'}(-1;2)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: ${\left(x+1\right)}^2+{(y-2)}^2=5$.