cos2x = cos$\frac{4\pi }{7}$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=\frac{4\pi }{7}+k2\pi \\ 2x=-\frac{4\pi }{7}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{7}+k\pi \\ x=-\frac{2\pi }{7}+k\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án B

Phép vị tự tỉ số k biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD nên ta có:

$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ và CD = |k|.AB

Chọn đáp án C

2cosx + $\sqrt{3}$ = 0

$\iff 2\cos x=-\sqrt{3}$

$\iff \cos x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos x=cos\frac{5\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án C

sinx = sin$\frac{2\pi }{11}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{11}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{2\pi }{11}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{11}+k2\pi \\ x=\frac{9\pi }{11}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án D.

tanx = tan$\frac{\pi }{3}$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ với k$\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án B

Xét phép quay tâm O trong mặt phẳng Oxy với góc quay -90$°$biến điểm A(2; 0) thành điểm A’ (x; y)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-2\end{array}\right.$

Vậy ảnh của điểm A(2; 0) là A’(0; -2)

Chọn đáp án B.

Một công việc có thể thực hiện bằng 1 hoặc 2 hành động, trong đó hành động 1 có 10 cách thực hiện, hành động 2 có 30 cách thực hiện nên ta cần sử dụng quy tắc cộng. Số cách thực hiện công việc đố là: 10 + 30 = 40 (cách)

Chọn đáp án D.

Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1$

Nên để phương trình sin2x = 3m – 11  có nghiệm thì ta có:

$-1\le 3m-11\le 1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3m-11\ge -1\\ 3m-11\le 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3m\ge 10\\ 3m\le 12\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge \frac{10}{3}\\ m\le 4\end{array}\right.$

$\iff \frac{10}{3}\le m\le 4$

Chọn đáp án C.

Phương trình là phương trình bậc hai đối với sinx và cosx có dạng

$a.{\sin }^{2}x+b.\sin x.\cos x+c.{\cos }^{2}x=d$

Dễ thấy, ${\sin }^{2}x+2\sin x.\cos x-3{\cos }^{2}x=4$ là một phương trình bậc hai đối với sinx và cosx.

Chọn đáp án C.

cot3x = cot$\frac{6\pi }{2021}$

$\iff 3x=\frac{6\pi }{2021}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{2\pi }{2021}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{2\pi }{2021}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$

Chọn đáp án A.

Ta có: y = tanx = $\frac{\sin x}{\cos x}$

Do đó, điều kiện xác định của hàm số y = tanx là:

$\cos x\ne 0$

$\iff \cos x\ne cos\frac{\pi }{2}$

$\iff x\ne \pm \frac{\pi }{2}+k2\pi$ với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với k$\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số y = tanx là D = $\left\{x\in ℝ|x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ 

Chọn đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số y = $\frac{3x+2}{\sin x+1}$ là:

sinx + 1 $\ne$ 0

$\iff$sinx $\ne$ -1

$\iff \sin x\ne \sin \frac{-\pi }{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x\ne \pi -\left(-\frac{\pi }{2}\right)+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x\ne \frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với k$\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số y = $\frac{3x+2}{\sin x+1}$ là D = $ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$

Chọn đáp án B.

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ = (-2; 5) biến điểm A(3; -1) thành điểm B(x; y)

Ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (x – 3; y + 1)

Theo tính chất của phép tịnh tiến ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-3=-2\\ y+1=5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy B(1; 4)

Chọn đáp án A.

Phép quay tâm O, góc quay α là phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và (OM, OM’) = α.

Dễ thấy, “Phép quay tâm O, góc quay $\alpha =30°$ là phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và (OM, OM’) = 30$°$” là phát biểu đúng.

Chọn đáp án B.

Một công việc muốn thực hiện phải qua 2 hành động liên tiếp, trong đó hành động 1 có 11 cách thực hiện, hành động 2 có 21 cách thực hiện nên ta áp dụng quy tắc nhân. Số cách thực hiện công việc đó là: 11.21= 231 (cách)

Chọn đáp án D.

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$.

Chọn đáp án D.

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng $a.\sin x+b.cosx=c$

Dễ thấy, sinx + 2cosx = 3 là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Chọn đáp án C.

Số cách chọn 1 bạn ở tổ 1 là: 14 cách

Số cách chọn 1 bạn ở tổ 2 là: 13 cách

Số cách chọn 1 bạn ở tổ 3 là: 13 cách

Do công việc này phải thực hiện liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 bạn bất kì sao cho mỗi tổ chọn 1 bạn là: 14.13.13 = 2366 (cách)

Chọn đáp án B.

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thằng song song hoặc trùng với nó. Do đó, 1 phép tịnh tiến biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ’ thì Δ song song hoặc trùng với Δ’.

Chọn đáp án A.

Phép vị tự tâm I tỉ số k là là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{IM\text{'}}=k\overrightarrow{IM}$.

Chọn đáp án A.

a) $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$ (*)

Đặt t = cosx với điều kiện $-1\le t\le 1$

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

$2t^2-3t+1=0$

$\iff 2t^2-2t-t+1=0$

$\iff \left(2t^2-2t\right)-\left(t-1\right)=0$

$\iff \left(2t-1\right)\left(t-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=1\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Với t = 1, ta có:

cosx = 1

$\iff \cos x=\cos 0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0+k2\pi \\ x=-0+k2\pi \end{array}\right.$ với $k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Với $t=\frac{1}{2}$, ta có:

$\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=cos\frac{\pi }{3}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.$ với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = $\left\{k2\pi ;\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Xét hàm số: y = 11sinx – 2021.

Ta có: -1 $\le$ sinx $\le$ 1

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin x\le 1\\ \sin x\ge -1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}11\sin x\le 11\\ 11\sin x\ge -11\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}11\sin x-2021\le 11-2021\\ 11\sin x-2021\ge -11-2021\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\le -2010\\ y\ge -2032\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là -2032 và giá trị lớn nhất của hàm số y là -2010

a)

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$(-4; 5) biến điểm A(1; 6) thành điểm B(x; y) ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (x – 1; y – 6)

 $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{u}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-1=-4\\ y-6=5\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=11\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm B là B(-3; 11)

b)  Xét phép vị tự tâm I(4; 1) tỉ số k = -2 biến điểm M(2; -3) thành điểm M’(x’; y’)

Ta có:

$\overrightarrow{IM}$ = (-2; -4)

$\overrightarrow{IM}$ = (x’ – 4; y’ – 1)

$\overrightarrow{IM\text{'}}=k\overrightarrow{IM}$

$\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-2\overrightarrow{IM}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x\text{'}-4=-2.(-2)\\ y\text{'}-1=-2.(-4)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x\text{'}-4=4\\ y\text{'}-1=8\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x\text{'}=8\\ y\text{'}=9\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm M’ là: M’(8; 9)

TH1: Chọn được 1 bộ quần áo cùng màu hồng

Số cách chọn ra 1 áo màu hồng là: 6 (cách)

Số cách chọn ra 1 quần màu hồng là: 8 (cách)

Số cách chọn được 1 bộ quần áo cùng màu hồng là: 6.8 = 48 (cách)

TH2: Chọn được 1 bộ quần áo cùng màu xanh

Số cách chọn ra 1 áo màu xanh là: 7 (cách)

Số cách chọn ra 1 quần màu xanh là: 9 (cách)

Số cách chọn được 1 bộ quần áo cùng màu xanh là: 7.9 = 63 (cách)

Vậy số cách để chọn được 1 bộ quần áo cùng màu là: 48 + 63 = 111 (cách)

Gọi I’(x; y) và R’ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C’)

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$(2; -1) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’), biến tâm I(4; -3) thành I’

Ta có:

$\overrightarrow{II\text{'}}$ = (x – 4; y + 3)

$\overrightarrow{II\text{'}}=\overrightarrow{v}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-4=2\\ y+3=-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-4\end{array}\right.$

 

$\Rightarrow$ I’(6; -4)

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$(2; -1) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với độ dài bán kính giữ nguyên nên R’ = R = 5

Phương trình đường tròn (C’)  là:

${\left(x-6\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=5^2$

Hay ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$

Ta có:

(2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4$co{s}^{2}x$(*)

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m\right]=3-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m\right]=3-4+4{\sin }^{2}x$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m\right]=4{\sin }^{2}x-1$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m\right]=\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin x+1\right)$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m\right]-\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin x+1\right)=0$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x+m-\left(2\sin x+1\right)\right]=0$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+m-1\right]=0$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[2-4{\sin }^{2}x+m-1\right]=0$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[-4{\sin }^{2}x+m+1\right]=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2\sin x-1=0\\ -4{\sin }^{2}x+m+1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ {\sin }^{2}x=\frac{m+1}{4}\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) ta có:

$\sin x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$với k$\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$ với k$\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trong khoảng [0; π] là: $x=\frac{\pi }{6}$và $x=\frac{5\pi }{6}$

Giải phương trình (2) ta có:

${\sin }^{2}x=\frac{m+1}{4}$

Đặt t = sinx, với x$\in$[0; π] thì t$\in$[0; 1]

Khi đó, phương trình (2) trở thành

$t^2=\frac{m+1}{4}$(3)

Ta có: $0\le t^2\le 1$  với mọi t$\in$[0; 1]

Mà để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm trong khoảng [0; π]  thì phương trình (2) phải vô nghiệm, tức là phương trình (3) phải vô nghiệm hoặc có đúng một nghiệm trên đoạn [0; 1] là t = $\frac{1}{2}$

+) $\frac{m+1}{4}<0\Rightarrow m+1<0\iff m<-1$ thì phương trình (3) vô nghiệm kéo theo phương trình (2) vô nghiệm.

+) t = $\Rightarrow t^2=\frac{1}{4}\Rightarrow {\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \sin x=\sin -\frac{\pi }{6}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$

Ta có: $\frac{m+1}{4}=\frac{1}{4}\iff m=0$

Vậy m = 0 hoặc m < -1 thì phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt x $\in \left[0;\pi \right]$