Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 4 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học: Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I, J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

OA chung

OI = OM = R

$\widehat{OIA}=\widehat{OMA}={90}^0$

⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có:

BM = BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI = BJ ; (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SI + IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB = SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác ; BM = BN (= BJ)

và CN = CP (= CK)

Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S.ABC là hình chóp tam giác đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu...

Bài 2 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)...

Bài 3 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu...

Bài 5 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a...

Bài 6 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình vuông ABCD cạnh a...

Bài 7 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r ...