Cho hình vuông ABCD cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 6 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho $OS\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{a}{2}$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của SA.

Trong mp(SAO); đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I.

Ta có: ∆ SAO đồng dạng ∆ SIH (g.g)

(vì $\widehat{S}chung;\widehat{SHI}=\widehat{SOA}={90}^0)$

$\Rightarrow \frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}\Rightarrow SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{S{A}^2}{2SO}$

Mà

$\begin{array}{l}S{A}^2=S{O}^2+\text{}O{A}^2\\ ={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\\ \Rightarrow SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Khi đó $SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}=\frac{3a}{4}$

Mặt khác: IS = IA (vì I ở trên đường trung trực của SA)

Và IA= IB = IC = ID (vì I thuộc SO).

Suy ra: IS = IA = IB = IC = ID = $\frac{3a}{4}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính $R=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}SI=\frac{3a}{4}$.

Diện tích mặt cầu:

$S=4\pi R^2=4\pi .\left(\frac{3a}{4}\right){}^2=\frac{9\pi a^2}{4}$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3a}{4}\right)}^3=\frac{9\pi a^3}{16}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu...

Bài 2 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)...

Bài 3 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu...

Bài 4 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC...

Bài 5 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a...

Bài 7 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r ...